9個の文字M, A, T, H, C, H, A, R, Tを横1列に並べる。 (1) この並べ方は何通りあるか。 (2) AとAが隣り合うような並べ方は何通りあるか。 (3) AとAが隣り合い、かつ、TとTも隣り合うような並べ方は何通りあるか。 (4) M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。

## 数学の問題

1. 問題の内容

9個の文字M, A, T, H, C, H, A, R, Tを横1列に並べる。

(1) この並べ方は何通りあるか。

(2) AとAが隣り合うような並べ方は何通りあるか。

(3) AとAが隣り合い、かつ、TとTも隣り合うような並べ方は何通りあるか。

(4) M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全ての並べ方

9個の文字の中に、Aが2個、Hが2個、Tが2個含まれている。

よって、並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式より、

$\frac{9!}{2!2!2!} = \frac{362880}{8} = 45360$通り。

(2) AとAが隣り合う並べ方

AとAをまとめて1つの文字と考えると、並べる文字は8個になる。

その中にHが2個、Tが2個含まれているので、並べ方の総数は、

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$通り。

(3) AとAが隣り合い、かつ、TとTも隣り合う並べ方

AとAをまとめて1つの文字、TとTをまとめて1つの文字と考えると、並べる文字は7個になる。

その中にHが2個含まれているので、並べ方の総数は、

$\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$通り。

(4) M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方

まず9個の文字を並べる場所を決めます。M, C, Rの場所は順番が決まっているので、まず9個の場所からM, C, Rの場所3つを選びます。選び方は $_9C_3$ 通りです。

残りの6個の場所には、A, A, T, T, H, Hを並べます。並べ方は $\frac{6!}{2!2!2!}$ 通りです。

したがって、M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方は、

$_9C_3 \times \frac{6!}{2!2!2!} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{2!2!2!} = \frac{9!}{3!2!2!2!} = \frac{362880}{3! \times 8} = \frac{362880}{6 \times 8} = \frac{362880}{48} = 7560$通り。

3. 最終的な答え

(1) 45360通り

(2) 10080通り

(3) 2520通り

(4) 7560通り