与えられた条件を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の数を求める問題です。具体的には、以下の5つの場合について、条件を満たす整数の組の数を求めます。 (1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ (2) $1 \le x < y < z \le 5$ (3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ (4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ (5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の数を求める問題です。具体的には、以下の5つの場合について、条件を満たす整数の組の数を求めます。

(1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$

(2) $1 \le x < y < z \le 5$

(3) $1 \le x \le y \le z \le 5$

(4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$

(5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$

2. 解き方の手順

(1) $x, y, z$ はそれぞれ1から5までの整数を取りうるので、それぞれの変数の取りうる値は5通りずつです。したがって、組 $(x, y, z)$ の総数は $5 \times 5 \times 5$ となります。

(2) $1 \le x < y < z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は、1から5までの5つの整数から異なる3つの整数を選ぶ組み合わせの数に等しいです。これは組み合わせ ${}_5 C_3$ で計算できます。${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1}$

(3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は、1から5までの5つの整数から重複を許して3つ選ぶ重複組み合わせの数に等しいです。これは ${}_5 H_3$ で計算できます。${}_5 H_3 = {}_{5+3-1} C_3 = {}_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}$

(4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は、5個の区別できないものを3つの区別できる箱に入れる重複組み合わせの問題です。これは ${}_3 H_5$ で計算できます。${}_3 H_5 = {}_{3+5-1} C_5 = {}_7 C_5 = {}_7 C_2 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1}$

(5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ を求めます。$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z' \ge 0$ となり、$x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 5$ より、$x' + y' + z' = 2$, $x', y', z' \ge 0$ となります。これは ${}_3 H_2$ で計算できます。${}_3 H_2 = {}_{3+2-1} C_2 = {}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1}$

3. 最終的な答え

(1) 125

(2) 10

(3) 35

(4) 21

(5) 6