与えられた条件を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の数を求める問題です。具体的には、以下の5つの場合について、条件を満たす整数の組の数を求めます。 (1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ (2) $1 \le x < y < z \le 5$ (3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ (4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ (5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$

離散数学組み合わせ重複組み合わせ整数の組場合の数
2025/6/30

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす整数の組 (x,y,z)(x, y, z) の数を求める問題です。具体的には、以下の5つの場合について、条件を満たす整数の組の数を求めます。
(1) 1x51 \le x \le 5, 1y51 \le y \le 5, 1z51 \le z \le 5
(2) 1x<y<z51 \le x < y < z \le 5
(3) 1xyz51 \le x \le y \le z \le 5
(4) x+y+z=5x + y + z = 5, x0x \ge 0, y0y \ge 0, z0z \ge 0
(5) x+y+z=5x + y + z = 5, x1x \ge 1, y1y \ge 1, z1z \ge 1

2. 解き方の手順

(1) x,y,zx, y, z はそれぞれ1から5までの整数を取りうるので、それぞれの変数の取りうる値は5通りずつです。したがって、組 (x,y,z)(x, y, z) の総数は 5×5×55 \times 5 \times 5 となります。
(2) 1x<y<z51 \le x < y < z \le 5 を満たす整数の組 (x,y,z)(x, y, z) は、1から5までの5つの整数から異なる3つの整数を選ぶ組み合わせの数に等しいです。これは組み合わせ 5C3{}_5 C_3 で計算できます。5C3=5!3!2!=5×42×1{}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1}
(3) 1xyz51 \le x \le y \le z \le 5 を満たす整数の組 (x,y,z)(x, y, z) は、1から5までの5つの整数から重複を許して3つ選ぶ重複組み合わせの数に等しいです。これは 5H3{}_5 H_3 で計算できます。5H3=5+31C3=7C3=7!3!4!=7×6×53×2×1{}_5 H_3 = {}_{5+3-1} C_3 = {}_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}
(4) x+y+z=5x + y + z = 5, x0x \ge 0, y0y \ge 0, z0z \ge 0 を満たす整数の組 (x,y,z)(x, y, z) は、5個の区別できないものを3つの区別できる箱に入れる重複組み合わせの問題です。これは 3H5{}_3 H_5 で計算できます。3H5=3+51C5=7C5=7C2=7!5!2!=7×62×1{}_3 H_5 = {}_{3+5-1} C_5 = {}_7 C_5 = {}_7 C_2 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1}
(5) x+y+z=5x + y + z = 5, x1x \ge 1, y1y \ge 1, z1z \ge 1 を満たす整数の組 (x,y,z)(x, y, z) を求めます。x=x1x' = x - 1, y=y1y' = y - 1, z=z1z' = z - 1 とおくと、x,y,z0x', y', z' \ge 0 となり、x+1+y+1+z+1=5x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 5 より、x+y+z=2x' + y' + z' = 2, x,y,z0x', y', z' \ge 0 となります。これは 3H2{}_3 H_2 で計算できます。3H2=3+21C2=4C2=4!2!2!=4×32×1{}_3 H_2 = {}_{3+2-1} C_2 = {}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1}

3. 最終的な答え

(1) 125
(2) 10
(3) 35
(4) 21
(5) 6

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