与えられた条件を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の数を求める問題です。具体的には、以下の5つの場合について、条件を満たす整数の組の数を求めます。 (1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ (2) $1 \le x < y < z \le 5$ (3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ (4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ (5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$
2025/6/30
1. 問題の内容
与えられた条件を満たす整数の組 の数を求める問題です。具体的には、以下の5つの場合について、条件を満たす整数の組の数を求めます。
(1) , ,
(2)
(3)
(4) , , ,
(5) , , ,
2. 解き方の手順
(1) はそれぞれ1から5までの整数を取りうるので、それぞれの変数の取りうる値は5通りずつです。したがって、組 の総数は となります。
(2) を満たす整数の組 は、1から5までの5つの整数から異なる3つの整数を選ぶ組み合わせの数に等しいです。これは組み合わせ で計算できます。
(3) を満たす整数の組 は、1から5までの5つの整数から重複を許して3つ選ぶ重複組み合わせの数に等しいです。これは で計算できます。
(4) , , , を満たす整数の組 は、5個の区別できないものを3つの区別できる箱に入れる重複組み合わせの問題です。これは で計算できます。
(5) , , , を満たす整数の組 を求めます。, , とおくと、 となり、 より、, となります。これは で計算できます。
3. 最終的な答え
(1) 125
(2) 10
(3) 35
(4) 21
(5) 6