SHIKENの6文字を並び替えてできる順列を辞書式順序で並べる。EHIKNSを1番目とするとき、140番目の文字列を求める。

離散数学順列辞書式順序組み合わせ論
2025/6/30

1. 問題の内容

SHIKENの6文字を並び替えてできる順列を辞書式順序で並べる。EHIKNSを1番目とするとき、140番目の文字列を求める。

2. 解き方の手順

SHIKENの6文字をアルファベット順に並べるとEHIKNSとなる。140番目の文字列を求めるために、各文字を先頭に固定した場合の順列の数を考える。
6文字の順列の総数は6!=7206! = 720通りである。
* 先頭の文字を固定した場合の順列の数は、5!=1205! = 120通りである。
* 140番目の文字列を求めるので、先頭がEのものは120個あるため、先頭はEではない。
* 次にHを先頭に固定すると、E,Hから始まる順列の数は 120×2=240120 \times 2= 240となり、140を超えるので、先頭はHではない。
* 次にIを先頭に固定すると、E,H,Iから始まる順列の数は120×3=360120 \times 3= 360となり、140を超えるので、先頭はIではない。
* 次にKを先頭に固定すると、E,H,I,Kから始まる順列の数は120×4=480120 \times 4= 480となり、140を超えるので、先頭はKではない。
* 次にNを先頭に固定すると、E,H,I,K,Nから始まる順列の数は120×5=600120 \times 5= 600となり、140を超えるので、先頭はNではない。
* 次にSを先頭に固定すると、E,H,I,K,N,Sから始まる順列の数は120×6=720120 \times 6= 720となり、140を超えるので、先頭はSではない。
先頭がEの場合を考える。1番目はEHIKNS, 120番目はESNKHIである。
140番目の文字列は、Eから始まる文字列ではない。
次にHを先頭に固定した場合を考える。EHIKNSを1番目と考えると、Hから始まる文字列は、Eから始まる文字列の次にくる。140番目の文字列はHから始まる文字列ではない。
先頭の文字から順に決めていく。
* Eで始まる文字列は5!=1205! = 120通り。
* Hで始まる文字列は5!=1205! = 120通り。
* Iで始まる文字列は5!=1205! = 120通り。
* Kで始まる文字列は5!=1205! = 120通り。
ここまでで120×4=480120 \times 4 = 480通り。140番目の文字列はKより前に来る。したがって先頭の文字はE, H, I, Kではない。
140番目はEを先頭とする順列の120個の次にくる。
140 - 120 = 20
先頭がHの場合、Hの次はE, I, K, N, Sである。
* HEで始まる文字列は4!=244! = 24通り。
20番目の文字列はHEから始まる文字列ではない。
140 - 120 = 20
HEから始まる文字列の次にくるのは、HIから始まる文字列である。
HIで始まる文字列は4!=244! = 24通り。
20番目の文字列はHIから始まる文字列に含まれる。
20 < 24なので、140番目の文字列はHIから始まる。
HIまで決定。HIの次はE, K, N, Sである。
HIから始まる順列の中で、20番目の順列を求める。
HIEKNS, HIEKSN, HIENTS, HIESTN, HIENSK,...
* HIEで始まる文字列は3!=63! = 6通り。
* HIKで始まる文字列は3!=63! = 6通り。
* HINで始まる文字列は3!=63! = 6通り。
ここまでで6×3=186 \times 3 = 18通り。
20 - 18 = 2
20番目の文字列はHISから始まる文字列に含まれる。
* HISから始まる文字列は3!=63! = 6通り。
20番目はHISから始まる順列の2番目。
HISまで決定。HISの次はE, K, Nである。
2番目の文字列を求める。
HISEKN, HISENK, HISKEN,...
HISEKNが最初の文字列。
HISENKが2番目の文字列。
したがって140番目の文字列はHISENK。

3. 最終的な答え

HISENK

「離散数学」の関連問題

(1) A, B, C, D, E, F, G, H, I, J の10文字の中から4文字を選んで並べてできる順列の数を求める。 (2) A, A, A, A, A, B, B, B, B, B の1...

順列組み合わせ場合の数
2025/7/8

この問題は、与えられた文字の集合から4つの文字を選んで並べる順列の数を求める問題です。3つの小問があります。 (1) 10種類の文字 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J から4文...

順列組み合わせ場合の数重複順列
2025/7/8

与えられた文字の集合から4つの文字を選び、並べてできる順列の数を求める問題です。3つの異なる文字の集合に対して順列の数を計算します。

順列組み合わせ重複順列場合の数
2025/7/8

「CAREFUL」の7文字をすべて用いて並べる順列のうち、母音と子音が交互に並ぶ並べ方は何通りあるかを求める問題です。

順列組み合わせ文字列場合の数
2025/7/8

東西に5本、南北に6本の道がある。点Aから点Bへ行く最短経路は何通りあるか。

組み合わせ最短経路組合せ論
2025/7/8

(7) CAREFULの7文字をすべて用いて並べるとき、母音と子音が交互に並ぶような並べ方は何通りあるか。

順列組み合わせ場合の数文字列
2025/7/8

命題「($p$ または $q$) $\Rightarrow$ $r$」が真であるとき、以下の5つの命題の真偽を判定する問題です。 (1) $p$ $\Rightarrow$ $\overline{r}...

論理命題論理真偽判定対偶ド・モルガンの法則
2025/7/8

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、次の命題の真偽を判定し、正しい場合は証明、正しくない場合は反例を挙げよ。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等である...

集合論濃度可算集合非可算集合べき集合対等
2025/7/8

集合$A$と$B$について、以下の2つの命題を証明する。 (1) $A$から$B$への単射が存在するための必要十分条件は、$B$から$A$への全射が存在すること。 (2) $A$から$B$への単射$f...

集合論写像単射全射全単射ベルンシュタインの定理
2025/7/8

問題8は、以下の集合に関する定義を述べる問題です。 (1) 集合Aと集合Bが対等である。 (2) 集合Aが有限集合である。集合Bが無限集合である。 (3) 集合Aが可算集合である。集合Bが高々可算であ...

集合論集合対等有限集合無限集合可算集合高々可算非可算集合ベキ集合全単射部分集合
2025/7/8