5人に招待状を送るために、宛名を書いた招待状と、それらを入れる宛名を書いた封筒を用意した。招待状を全て間違った封筒に入れる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

5人に招待状を送るために、宛名を書いた招待状と、それらを入れる宛名を書いた封筒を用意した。招待状を全て間違った封筒に入れる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

これは、完全順列（または撹乱順列）の問題です。n個のものを並び替えて、どの要素も元の位置に来ないようにする方法の数を求めます。n個の要素に対する完全順列の数を $D_n$ で表すと、$D_n$ は以下の漸化式で計算できます。

$D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$

ここで、$D_1 = 0$ (1つの要素を並び替えて、元の位置に来ないようにすることはできない) および $D_2 = 1$ (2つの要素を入れ替えるしかない) です。

問題では $n=5$ なので、$D_5$ を計算します。

まず、$D_3$ を計算します。

$D_3 = (3-1)(D_2 + D_1) = 2(1 + 0) = 2$

次に、$D_4$ を計算します。

$D_4 = (4-1)(D_3 + D_2) = 3(2 + 1) = 9$

最後に、$D_5$ を計算します。

$D_5 = (5-1)(D_4 + D_3) = 4(9 + 2) = 4(11) = 44$

別の解法として、包除原理を用いる方法があります。

全体の並べ方の数 $5!$ から、少なくとも1つが正しい封筒に入っている場合を引くことを繰り返します。

$D_5 = 5! - \binom{5}{1}4! + \binom{5}{2}3! - \binom{5}{3}2! + \binom{5}{4}1! - \binom{5}{5}0!$

$D_5 = 120 - (5 \times 24) + (10 \times 6) - (10 \times 2) + (5 \times 1) - 1$

$D_5 = 120 - 120 + 60 - 20 + 5 - 1 = 44$

3. 最終的な答え

44通り