A, B, C, D, E の5つの文字をすべて使ってできる順列を、辞書式順に並べたとき、55番目の文字列を求める問題です。ABCDE が1番目とします。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E の5つの文字をすべて使ってできる順列を、辞書式順に並べたとき、55番目の文字列を求める問題です。ABCDE が1番目とします。

2. 解き方の手順

5つの文字 A, B, C, D, E を並べる順列の総数は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

辞書式順に並べるので、先頭の文字から順に確定させていきます。

(1) 先頭が A である順列の数は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

(2) 先頭が B である順列の数は $4! = 24$ 通りです。

(3) 先頭が C である順列の数は $4! = 24$ 通りです。

ここまでで $24 + 24 + 24 = 72$ 通りなので、55番目の文字列は先頭が C であることはありません。

55番目の文字列は、先頭が A, B のいずれでもありません。

先頭が A である場合と B である場合を合わせた順列の数は $24+24=48$ 通りです。

したがって、55番目の文字列は、先頭が C である文字列の中で、$55-48 = 7$ 番目のものになります。

次に、2文字目を確定させます。

(1) 先頭が C で、2文字目が A である順列の数は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

(2) 先頭が C で、2文字目が B である順列の数は $3! = 6$ 通りです。

7番目の文字列は、先頭がCAの文字列より大きく、CBの文字列よりも大きくありません。

したがって先頭が CA の文字列の数は 6 なので、7番目の文字列は先頭が CB の文字列の1番目です。

すなわち、7番目の文字列は先頭がCBの文字列の中で最小のものになります。

次に、3文字目を確定させます。残りの文字は A, D, E です。

これらを辞書式に並べると ADE, AED, DAE, DEA, EAD, EDA となります。

したがって、CBの次にA, D, E を辞書式順に並べます。

すると、残りの文字列は ADE となります。

したがって、55番目の文字列は CBADE となります。

3. 最終的な答え

CBADE