右の図のような道のある地域で、次の最短の道順は何通りあるか。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。

1. 問題の内容

右の図のような道のある地域で、次の最短の道順は何通りあるか。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く場合

AからBまで最短で行くには、右に6回、上に3回移動する必要があります。

したがって、合計9回の移動のうち、右への移動を6回選ぶ場合の数なので、組み合わせで計算できます。

$_9C_6 = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

(2) AからCを通ってBまで行く場合

まず、AからCまで行く最短経路の数を求めます。AからCまでは、右に3回、上に1回移動します。したがって、合計4回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ場合の数なので、組み合わせで計算できます。

$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$

次に、CからBまで行く最短経路の数を求めます。CからBまでは、右に3回、上に2回移動します。したがって、合計5回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ場合の数なので、組み合わせで計算できます。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

AからCを通ってBまで行く最短経路の数は、AからCまでの経路数とCからBまでの経路数の積で求められます。

$4 \times 10 = 40$

(3) AからCを通らずにBまで行く場合

AからBまで行く経路の総数から、AからCを通ってBまで行く経路の数を引けば、AからCを通らずにBまで行く経路の数が求められます。

したがって、

$84 - 40 = 44$

3. 最終的な答え

(1) 84通り

(2) 40通り

(3) 44通り