AからBまでの最短経路のうち、PもQも通らない経路は何通りあるか。

離散数学組み合わせ最短経路場合の数
2025/7/1

1. 問題の内容

AからBまでの最短経路のうち、PもQも通らない経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* AからBまでの最短経路の総数を求める。
AからBまでは、右に6回、下に2回移動する必要がある。したがって、最短経路の総数は、8回の移動のうち右に移動する6回を選ぶ組み合わせの数で計算できる。
\binom{8}{6} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28
よって、AからBまでの最短経路は28通りである。
* AからBまでの最短経路のうち、Pを通る経路の数を求める。
AからPまでの最短経路の数は (31)=3\binom{3}{1} = 3通りである。
PからBまでの最短経路の数は (55)=(50)=1\binom{5}{5} = \binom{5}{0} = 1通りである。
したがって、Pを通る最短経路は 3×(55)=3×1=33 \times \binom{5}{5} = 3 \times 1 = 3通りである。
* AからBまでの最短経路のうち、Qを通る経路の数を求める。
AからQまでの最短経路の数は (53)=5!3!2!=5×42×1=10\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10通りである。
QからBまでの最短経路の数は (33)=1\binom{3}{3} = 1通りである。
したがって、Qを通る最短経路は 10×1=1010 \times 1 = 10通りである。
* AからBまでの最短経路のうち、PとQの両方を通る経路の数を求める。
AからPまでの最短経路の数は (31)=3\binom{3}{1} = 3通りである。
PからQまでの最短経路の数は (22)=1\binom{2}{2} = 1通りである。
QからBまでの最短経路の数は (33)=1\binom{3}{3} = 1通りである。
したがって、PとQの両方を通る最短経路は 3×1×1=33 \times 1 \times 1 = 3通りである。
* PまたはQを通る経路の数を求める。
PまたはQを通る経路の数は、Pを通る経路の数 + Qを通る経路の数 - PとQの両方を通る経路の数で計算できる。
3+103=103 + 10 - 3 = 10通り
* PもQも通らない経路の数を求める。
PもQも通らない経路の数は、AからBまでの最短経路の総数 - PまたはQを通る経路の数で計算できる。
2810=1828 - 10 = 18通り

3. 最終的な答え

18通り

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