(1) 5つの区別できないボールを、A, B, Cの3つの区別できる箱に分ける方法の数を求める。ただし、空の箱があってもよい。 (2) 5人の区別できる生徒を、A, B, Cの3つの区別できる部屋に入れる方法の数を求める。ただし、空の部屋があってもよい。

1. 問題の内容

(1) 5つの区別できないボールを、A, B, Cの3つの区別できる箱に分ける方法の数を求める。ただし、空の箱があってもよい。

(2) 5人の区別できる生徒を、A, B, Cの3つの区別できる部屋に入れる方法の数を求める。ただし、空の部屋があってもよい。

2. 解き方の手順

(1) 5つの同じボールを3つの箱に分ける問題は、重複組み合わせの問題として考えることができます。5つのボールと2つの仕切りを並べる方法の数と考えることができます。例えば、ボールを○、仕切りを｜で表すと、○○｜○｜○○は、Aに2個、Bに1個、Cに2個のボールが入っている状態を表します。したがって、求める場合の数は、5つの○と2つの｜の並べ方の総数であり、7個の場所から2個の｜を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

組み合わせの公式は以下の通りです。

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

この問題では $n=7$、 $r=2$ なので、

$_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(2) 5人の生徒を3つの部屋に入れる問題は、各生徒がどの部屋に入るかを選ぶ問題として考えることができます。各生徒はA, B, Cの3つの部屋のいずれかに入ることができるので、1人の生徒について3通りの選択肢があります。5人の生徒それぞれについて3通りの選択肢があるので、全部で $3^5$通りの方法があります。

$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$

3. 最終的な答え

(1) 21通り

(2) 243通り