右図のような道のある地域で、点Pから点Qまで遠回りをせずに最短の道順で行く方法について、以下の問いに答える問題です。 (1) すべての道順は何通りか。 (2) Rを通る道順は何通りか。 (3) Rを通らない道順は何通りか。 (4) X印の箇所を通らない道順は何通りか。

離散数学組み合わせ最短経路場合の数順列
2025/7/1

1. 問題の内容

右図のような道のある地域で、点Pから点Qまで遠回りをせずに最短の道順で行く方法について、以下の問いに答える問題です。
(1) すべての道順は何通りか。
(2) Rを通る道順は何通りか。
(3) Rを通らない道順は何通りか。
(4) X印の箇所を通らない道順は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) すべての道順
PからQまで最短で行くには、右に4回、上に3回移動する必要があります。これは合計7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせ、または上への移動を3回選ぶ組み合わせと同じです。
したがって、すべての道順は、
(74)=(73)=7!4!3!=7×6×53×2×1=35\binom{7}{4} = \binom{7}{3} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 通りです。
(2) Rを通る道順
Rを通るには、まずPからRへ行き、次にRからQへ行く必要があります。
PからRへは、右に2回、上に1回移動する必要があります。これは合計3回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせ、または上への移動を1回選ぶ組み合わせと同じです。
したがって、PからRへの道順は、
(32)=(31)=3!2!1!=3×22=3\binom{3}{2} = \binom{3}{1} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3 通りです。
RからQへは、右に2回、上に2回移動する必要があります。これは合計4回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせ、または上への移動を2回選ぶ組み合わせと同じです。
したがって、RからQへの道順は、
(42)=4!2!2!=4×32×1=6\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 通りです。
したがって、Rを通る道順は、PからRへの道順とRからQへの道順の積なので、
3×6=183 \times 6 = 18 通りです。
(3) Rを通らない道順
Rを通らない道順は、すべての道順からRを通る道順を引けば求まります。
したがって、Rを通らない道順は、
3518=1735 - 18 = 17 通りです。
(4) X印の箇所を通らない道順
PからX印の箇所へは、右に3回、上に1回移動する必要があります。その道順の数は(43)=(41)=4\binom{4}{3} = \binom{4}{1} = 4通りです。X印の箇所からQへは、右に1回、上に2回移動する必要があります。その道順の数は(31)=(32)=3\binom{3}{1} = \binom{3}{2} = 3通りです。よって、X印の箇所を通る道順の数は4×3=124 \times 3 = 12通りです。したがって、X印の箇所を通らない道順の数は、3512=2335 - 12 = 23通りです。

3. 最終的な答え

(1) すべての道順: 35通り
(2) Rを通る道順: 18通り
(3) Rを通らない道順: 17通り
(4) X印の箇所を通らない道順: 23通り

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