右図のような道のある地域で、点Pから点Qまで遠回りをせずに最短の道順で行く方法について、以下の問いに答える問題です。 (1) すべての道順は何通りか。 (2) Rを通る道順は何通りか。 (3) Rを通らない道順は何通りか。 (4) X印の箇所を通らない道順は何通りか。

1. 問題の内容

右図のような道のある地域で、点Pから点Qまで遠回りをせずに最短の道順で行く方法について、以下の問いに答える問題です。

(1) すべての道順は何通りか。

(2) Rを通る道順は何通りか。

(3) Rを通らない道順は何通りか。

(4) X印の箇所を通らない道順は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) すべての道順

PからQまで最短で行くには、右に4回、上に3回移動する必要があります。これは合計7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせ、または上への移動を3回選ぶ組み合わせと同じです。

したがって、すべての道順は、

$\binom{7}{4} = \binom{7}{3} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通りです。

(2) Rを通る道順

Rを通るには、まずPからRへ行き、次にRからQへ行く必要があります。

PからRへは、右に2回、上に1回移動する必要があります。これは合計3回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせ、または上への移動を1回選ぶ組み合わせと同じです。

したがって、PからRへの道順は、

$\binom{3}{2} = \binom{3}{1} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ 通りです。

RからQへは、右に2回、上に2回移動する必要があります。これは合計4回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせ、または上への移動を2回選ぶ組み合わせと同じです。

したがって、RからQへの道順は、

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

したがって、Rを通る道順は、PからRへの道順とRからQへの道順の積なので、

$3 \times 6 = 18$ 通りです。

(3) Rを通らない道順

Rを通らない道順は、すべての道順からRを通る道順を引けば求まります。

したがって、Rを通らない道順は、

$35 - 18 = 17$ 通りです。

(4) X印の箇所を通らない道順

PからX印の箇所へは、右に3回、上に1回移動する必要があります。その道順の数は$\binom{4}{3} = \binom{4}{1} = 4$通りです。X印の箇所からQへは、右に1回、上に2回移動する必要があります。その道順の数は$\binom{3}{1} = \binom{3}{2} = 3$通りです。よって、X印の箇所を通る道順の数は$4 \times 3 = 12$通りです。したがって、X印の箇所を通らない道順の数は、$35 - 12 = 23$通りです。

3. 最終的な答え

(1) すべての道順: 35通り

(2) Rを通る道順: 18通り

(3) Rを通らない道順: 17通り

(4) X印の箇所を通らない道順: 23通り