(3) 12人を5人、4人、3人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。 (4) 12人を6人、3人、3人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。

離散数学組み合わせ順列場合の数組合せ論
2025/7/1

1. 問題の内容

(3) 12人を5人、4人、3人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。
(4) 12人を6人、3人、3人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(3)
まず、12人の中から5人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは12C5_{12}C_5で表されます。
12C5=12!5!(125)!=12!5!7!=12×11×10×9×85×4×3×2×1=792_{12}C_5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792
次に、残りの7人の中から4人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは7C4_{7}C_4で表されます。
7C4=7!4!(74)!=7!4!3!=7×6×53×2×1=35_{7}C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
最後に、残りの3人の中から3人を選ぶ組み合わせの数は3C3=1_{3}C_3 = 1です。
したがって、5人、4人、3人のグループに分ける総数は、
792×35×1=27720792 \times 35 \times 1 = 27720通り
(4)
まず、12人の中から6人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは12C6_{12}C_6で表されます。
12C6=12!6!(126)!=12!6!6!=12×11×10×9×8×76×5×4×3×2×1=924_{12}C_6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924
次に、残りの6人の中から3人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは6C3_{6}C_3で表されます。
6C3=6!3!(63)!=6!3!3!=6×5×43×2×1=20_{6}C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
最後に、残りの3人の中から3人を選ぶ組み合わせの数は3C3=1_{3}C_3 = 1です。
しかし、3人のグループが2つあるため、順番を考慮する必要はありません。したがって、2つの3人のグループの並び順を除いて、結果を2! = 2で割ります。
したがって、6人、3人、3人のグループに分ける総数は、
924×20×12=184802=9240\frac{924 \times 20 \times 1}{2} = \frac{18480}{2} = 9240通り

3. 最終的な答え

(3) 27720通り
(4) 9240通り

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