(3) 12人を5人、4人、3人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。 (4) 12人を6人、3人、3人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

(3) 12人を5人、4人、3人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。

(4) 12人を6人、3人、3人の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(3)

まず、12人の中から5人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは$_{12}C_5$で表されます。

$_{12}C_5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$

次に、残りの7人の中から4人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは$_{7}C_4$で表されます。

$_{7}C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

最後に、残りの3人の中から3人を選ぶ組み合わせの数は$_{3}C_3 = 1$です。

したがって、5人、4人、3人のグループに分ける総数は、

$792 \times 35 \times 1 = 27720$通り

(4)

まず、12人の中から6人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは$_{12}C_6$で表されます。

$_{12}C_6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$

次に、残りの6人の中から3人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは$_{6}C_3$で表されます。

$_{6}C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

最後に、残りの3人の中から3人を選ぶ組み合わせの数は$_{3}C_3 = 1$です。

しかし、3人のグループが2つあるため、順番を考慮する必要はありません。したがって、2つの3人のグループの並び順を除いて、結果を2! = 2で割ります。

したがって、6人、3人、3人のグループに分ける総数は、

$\frac{924 \times 20 \times 1}{2} = \frac{18480}{2} = 9240$通り

3. 最終的な答え

(3) 27720通り

(4) 9240通り