全体集合 $U = \{1, 2, 3, \dots, 9\}$ が与えられている。 $\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 4, 7\}$, $A \cap B = \{6, 8\}$, $A \cap \overline{B} = \{5\}$ のとき、$A \cap B$, $A$, $\overline{B}$ を求めよ。

離散数学集合集合演算ベン図
2025/7/1

1. 問題の内容

全体集合 U={1,2,3,,9}U = \{1, 2, 3, \dots, 9\} が与えられている。
AB={2,4,7}\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 4, 7\}, AB={6,8}A \cap B = \{6, 8\}, AB={5}A \cap \overline{B} = \{5\} のとき、ABA \cap B, AA, B\overline{B} を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ABA \cap B は問題文で与えられているため、AB={6,8}A \cap B = \{6, 8\} である。
次に、AA を求める。
AAABA \cap BABA \cap \overline{B} の和集合なので、
A=(AB)(AB)={6,8}{5}={5,6,8}A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{6, 8\} \cup \{5\} = \{5, 6, 8\}
最後に、B\overline{B} を求める。
U=AAU = A \cup \overline{A} なので、A=UA={1,2,3,4,7,9}\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 7, 9\}
AB={2,4,7}\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 4, 7\} である。
B=(AB)(AB)(AB)\overline{B} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) となるので、
B\overline{B} を求めるためには、まず全体集合UUを考える。
UUABA \cap B, ABA \cap \overline{B}, AB\overline{A} \cap B, AB\overline{A} \cap \overline{B} の和集合である。
U=(AB)(AB)(AB)(AB)U = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B})
よって、(AB)=U((AB)(AB)(AB))(\overline{A} \cap B) = U - ((A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B}))
={1,2,3,4,5,6,7,8,9}({6,8}{5}{2,4,7})= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - (\{6, 8\} \cup \{5\} \cup \{2, 4, 7\})
={1,3,9}= \{1, 3, 9\}
B=(AB)(AB)={2,4,7}{5}={2,4,5,7}\overline{B} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap \overline{B}) = \{2, 4, 7\} \cup \{5\} = \{2, 4, 5, 7\} となる。
ここで、BB を求めると B=UB={1,3,6,8,9}B = U - \overline{B} = \{1, 3, 6, 8, 9\}
AB={6,8}A \cap B = \{6, 8\} となり、矛盾しない。

3. 最終的な答え

AB={6,8}A \cap B = \{6, 8\}
A={5,6,8}A = \{5, 6, 8\}
B={2,4,5,7}\overline{B} = \{2, 4, 5, 7\}

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