全体集合 $U = \{1, 2, 3, \dots, 9\}$ が与えられている。 $\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 4, 7\}$, $A \cap B = \{6, 8\}$, $A \cap \overline{B} = \{5\}$ のとき、$A \cap B$, $A$, $\overline{B}$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, \dots, 9\}$ が与えられている。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 4, 7\}$, $A \cap B = \{6, 8\}$, $A \cap \overline{B} = \{5\}$ のとき、$A \cap B$, $A$, $\overline{B}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B$ は問題文で与えられているため、$A \cap B = \{6, 8\}$ である。

次に、$A$ を求める。

$A$ は $A \cap B$ と $A \cap \overline{B}$ の和集合なので、

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{6, 8\} \cup \{5\} = \{5, 6, 8\}$

最後に、$\overline{B}$ を求める。

$U = A \cup \overline{A}$ なので、$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 7, 9\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 4, 7\}$ である。

$\overline{B} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ となるので、

$\overline{B}$ を求めるためには、まず全体集合$U$を考える。

$U$ は $A \cap B$, $A \cap \overline{B}$, $\overline{A} \cap B$, $\overline{A} \cap \overline{B}$ の和集合である。

$U = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B})$

よって、$(\overline{A} \cap B) = U - ((A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B}))$

$= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - (\{6, 8\} \cup \{5\} \cup \{2, 4, 7\})$

$= \{1, 3, 9\}$

$\overline{B} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap \overline{B}) = \{2, 4, 7\} \cup \{5\} = \{2, 4, 5, 7\}$ となる。

ここで、$B$ を求めると $B = U - \overline{B} = \{1, 3, 6, 8, 9\}$

$A \cap B = \{6, 8\}$ となり、矛盾しない。

3. 最終的な答え

$A \cap B = \{6, 8\}$

$A = \{5, 6, 8\}$

$\overline{B} = \{2, 4, 5, 7\}$