問題は以下の4つの場合の数を求める問題です。 (1) 色の異なる5個の玉を円形に並べる場合の数。 (2) 5個の玉を糸でつないで腕輪を作る場合の数。 (3) 8人をA, Bの2部屋に入れる場合の数。ただし、全員を1つの部屋に入れても良い。 (4) 8人をA, Bの2部屋に入れる場合の数。ただし、空き部屋があってはいけない。

離散数学場合の数順列円順列組み合わせ
2025/7/1

1. 問題の内容

問題は以下の4つの場合の数を求める問題です。
(1) 色の異なる5個の玉を円形に並べる場合の数。
(2) 5個の玉を糸でつないで腕輪を作る場合の数。
(3) 8人をA, Bの2部屋に入れる場合の数。ただし、全員を1つの部屋に入れても良い。
(4) 8人をA, Bの2部屋に入れる場合の数。ただし、空き部屋があってはいけない。

2. 解き方の手順

(1) 円順列の問題です。n個の異なるものを円形に並べる場合の数は、(n1)!(n-1)!で求められます。今回はn=5n=5なので、(51)!=4!(5-1)! = 4!を計算します。
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
(2) 腕輪順列の問題です。円順列の場合の数に加えて、裏返すことができるため、2で割る必要があります。
(51)!/2=4!/2(5-1)! / 2 = 4! / 2 を計算します。
4!/2=24/2=124! / 2 = 24 / 2 = 12
(3) 各人はA, Bどちらかの部屋に入る選択肢があるので、282^8通りです。
28=2562^8 = 256
(4) 各人はA, Bどちらかの部屋に入る選択肢があるので、282^8通りです。ただし、全員がAの部屋に入る場合と、全員がBの部屋に入る場合は空き部屋ができてしまうので、この2通りを引く必要があります。
282=2562=2542^8 - 2 = 256 - 2 = 254

3. 最終的な答え

(1) 24通り
(2) 12通り
(3) 256通り
(4) 254通り

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