9人の人を、指定された人数構成のグループに分ける場合の数を計算する問題です。 (1) 4人、3人、2人の組に分ける場合 (2) A、B、Cの3つの組に3人ずつ分ける場合 (3) 3人ずつの3組に分ける場合 (4) 5人、2人、2人の組に分ける場合

離散数学組み合わせ順列組合せ論
2025/7/1

1. 問題の内容

9人の人を、指定された人数構成のグループに分ける場合の数を計算する問題です。
(1) 4人、3人、2人の組に分ける場合
(2) A、B、Cの3つの組に3人ずつ分ける場合
(3) 3人ずつの3組に分ける場合
(4) 5人、2人、2人の組に分ける場合

2. 解き方の手順

(1) 4人、3人、2人の組に分ける場合
まず、9人から4人を選ぶ組み合わせを計算します。
9C4=9!4!(94)!=9!4!5!=9×8×7×64×3×2×1=126_9C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
次に、残りの5人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。
5C3=5!3!(53)!=5!3!2!=5×42×1=10_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
残りの2人は自動的に2人の組になります。
したがって、組み合わせの総数は
126×10=1260126 \times 10 = 1260 通りです。
(2) A、B、Cの3つの組に3人ずつ分ける場合
まず、9人から3人を選んでAの組を作ります。
9C3=9!3!6!=9×8×73×2×1=84_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84
次に、残りの6人から3人を選んでBの組を作ります。
6C3=6!3!3!=6×5×43×2×1=20_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
残りの3人は自動的にCの組になります。
したがって、組み合わせの総数は
84×20=168084 \times 20 = 1680 通りです。
(3) 3人ずつの3組に分ける場合
まず、9人から3人を選びます。
9C3=9!3!6!=9×8×73×2×1=84_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84
次に、残りの6人から3人を選びます。
6C3=6!3!3!=6×5×43×2×1=20_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
残りの3人は自動的に3人組になります。
ただし、ここでは組に区別がないため、3!で割る必要があります。
したがって、組み合わせの総数は
84×203!=16806=280\frac{84 \times 20}{3!} = \frac{1680}{6} = 280 通りです。
(4) 5人、2人、2人の組に分ける場合
まず、9人から5人を選ぶ組み合わせを計算します。
9C5=9!5!(95)!=9!5!4!=9×8×7×64×3×2×1=126_9C_5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。
4C2=4!2!(42)!=4!2!2!=4×32×1=6_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
残りの2人は自動的に2人の組になります。
ただし、2人の組に区別がないため、2!で割る必要があります。
したがって、組み合わせの総数は
126×62!=7562=378\frac{126 \times 6}{2!} = \frac{756}{2} = 378 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1260通り
(2) 1680通り
(3) 280通り
(4) 378通り

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