9人の人を、指定された人数構成のグループに分ける場合の数を計算する問題です。 (1) 4人、3人、2人の組に分ける場合 (2) A、B、Cの3つの組に3人ずつ分ける場合 (3) 3人ずつの3組に分ける場合 (4) 5人、2人、2人の組に分ける場合

1. 問題の内容

9人の人を、指定された人数構成のグループに分ける場合の数を計算する問題です。

(1) 4人、3人、2人の組に分ける場合

(2) A、B、Cの3つの組に3人ずつ分ける場合

(3) 3人ずつの3組に分ける場合

(4) 5人、2人、2人の組に分ける場合

2. 解き方の手順

(1) 4人、3人、2人の組に分ける場合

まず、9人から4人を選ぶ組み合わせを計算します。

$_9C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

次に、残りの5人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

残りの2人は自動的に2人の組になります。

したがって、組み合わせの総数は

$126 \times 10 = 1260$ 通りです。

(2) A、B、Cの3つの組に3人ずつ分ける場合

まず、9人から3人を選んでAの組を作ります。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

次に、残りの6人から3人を選んでBの組を作ります。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

残りの3人は自動的にCの組になります。

したがって、組み合わせの総数は

$84 \times 20 = 1680$ 通りです。

(3) 3人ずつの3組に分ける場合

まず、9人から3人を選びます。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

次に、残りの6人から3人を選びます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

残りの3人は自動的に3人組になります。

ただし、ここでは組に区別がないため、3!で割る必要があります。

したがって、組み合わせの総数は

$\frac{84 \times 20}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通りです。

(4) 5人、2人、2人の組に分ける場合

まず、9人から5人を選ぶ組み合わせを計算します。

$_9C_5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

残りの2人は自動的に2人の組になります。

ただし、2人の組に区別がないため、2!で割る必要があります。

したがって、組み合わせの総数は

$\frac{126 \times 6}{2!} = \frac{756}{2} = 378$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 378通り