穴のあいた青玉4個、赤玉2個、白玉1個をひもに通してブレスレットを作る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

穴のあいた青玉4個、赤玉2個、白玉1個をひもに通してブレスレットを作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

円順列の問題として考えます。 まず、7個の玉を円形に並べる順列の総数を求めます。 同じ色の玉があるので、それらを区別しない順列として考えます。

7個の玉を並べる順列は $7!$ です。 しかし、青玉が4個、赤玉が2個あるため、同じ並び方が重複して数えられています。 青玉の並び替え $4!$ と赤玉の並び替え $2!$ で割る必要があります。

したがって、円順列の総数は次のようになります。

$$\frac{7!}{4!2!}$$

これを計算すると

$$\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{2} = 7 \times 3 \times 5 = 105$$

しかし、ブレスレットの場合、裏返すことができるので、裏返して同じになるものを同一視する必要があります。したがって、上記の結果を2で割ります。

$$\frac{105}{2}$$

しかし、これは整数ではないため、この考え方は誤りです。

別の考え方として、まず白玉の位置を固定し、残りの6つの位置に青玉4個、赤玉2個を並べる方法を考えます。これは、6つの位置から赤玉を置く2つの位置を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。つまり、

$$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

次に、ブレスレットは裏返すことができるので、線対称なものを考慮します。

白玉に関して線対称な並び方を考えると、赤玉が白玉の左右対称な位置にある場合(例: 赤-青-青-白-青-青-赤)、それ以外の並び方は裏返すと一致するものがあります。

線対称な並び方は、赤玉2個が白玉の両隣にある場合、赤玉が白玉から2つ離れた位置にある場合、赤玉が白玉から3つ離れた位置にある場合です。

これらを数え上げることで15通りのうち、裏返して同じになるものを探し、重複をなくします。

具体的には、白玉の位置を固定して、残りの6個の位置に青玉4個と赤玉2個を並べる方法を考えます。15通りの並べ方を書き出してみます。

1. 赤赤青青青青

2. 赤青赤青青青

3. 赤青青赤青青

4. 赤青青青赤青

5. 赤青青青青赤

6. 青赤赤青青青

7. 青赤青赤青青

8. 青赤青青赤青

9. 青赤青青青赤

1

0. 青青赤赤青青

1

1. 青青赤青赤青

1

2. 青青赤青青赤

1

3. 青青青赤赤青

1

4. 青青青赤青赤

1

5. 青青青青赤赤

これらを裏返すと、

1. 青青青青赤赤 (15と同じ)

2. 青青青赤青赤 (14と同じ)

3. 青青赤青青赤 (12と同じ)

4. 青赤青青青赤 (9と同じ)

5. 赤青青青青青 (1と同じ)

6. 青青青赤赤青 (13と同じ)

7. 青青赤青赤青 (11と同じ)

8. 青赤青青赤青 (8と同じ)

9. 赤青青青赤青 (4と同じ)

1

0. 青青赤赤青青 (10と同じ)

1

1. 青赤青赤青青 (7と同じ)

1

2. 赤青青赤青青 (3と同じ)

1

3. 青赤赤青青青 (6と同じ)

1

4. 赤青赤青青青 (2と同じ)

1

5. 赤赤青青青青 (1と同じ)

裏返して同じになるものを除くと、

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10の8通りとなります。

5, 9, 11, 12, 13, 14, 15は上記に含まれています。

15通りの中で、裏返しても変わらないものは、赤玉が両端にある場合、赤玉が白玉から2つ離れた位置にある場合、そして赤玉同士が白玉を挟んで3つ離れた場所にある場合です。

この裏返して同じになる組み合わせは、赤玉同士が向かい合っている場合のみなので、1つです。

裏返して異なるものは (15 - 1) / 2 = 7通り。

したがって、全部で1 + 7 = 8通りとなります。

3. 最終的な答え

7通り