$(a+b)^5$ の展開式を、係数だけを取り出す計算によって求める。

1. 問題の内容

$(a+b)^5$ の展開式を、係数だけを取り出す計算によって求める。

2. 解き方の手順

$(a+b)^5$ の展開式は、二項定理を用いて求めることができます。

二項定理は次のように表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数であり、次のように計算されます。

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

したがって、$(a+b)^5$ の展開式は次のようになります。

$(a+b)^5 = \binom{5}{0} a^5 b^0 + \binom{5}{1} a^4 b^1 + \binom{5}{2} a^3 b^2 + \binom{5}{3} a^2 b^3 + \binom{5}{4} a^1 b^4 + \binom{5}{5} a^0 b^5$

各二項係数を計算します。

$\binom{5}{0} = 1$

$\binom{5}{1} = 5$

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

$\binom{5}{4} = 5$

$\binom{5}{5} = 1$

したがって、$(a+b)^5$ の展開式は次のようになります。

$(a+b)^5 = 1 a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + 1 b^5$

3. 最終的な答え

$a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$