## 問題の内容

## 問題の内容

画像に示された以下の2つの式を因数分解します。

(6) $x^2 - 3xy - 18y^2$

(7) $a^2x^2 + b^2y^2 - a^2y^2 - b^2x^2$

## 解き方の手順

### (6) $x^2 - 3xy - 18y^2$

1. **因数分解の公式を適用する:** この式は、二次式 $ax^2 + bx + c$ の形に似ています。ここでは、$a=1$, $b=-3y$, $c=-18y^2$ です。

2. **積と和のペアを探す:** 2つの数を見つけます。それらの積が$ac = -18y^2$ であり、和が$b=-3y$ である必要があります。この条件を満たす数は、$3y$と$-6y$です。なぜなら、$3y \times -6y = -18y^2$ であり、$3y + (-6y) = -3y$ だからです。

3. **式を書き換える:** $x^2 - 3xy - 18y^2$ を $x^2 + 3xy - 6xy - 18y^2$ に書き換えます。

4. **グループ化して因数分解する:**

$x^2 + 3xy - 6xy - 18y^2 = (x^2 + 3xy) + (-6xy - 18y^2)$

$= x(x + 3y) - 6y(x + 3y)$

$= (x + 3y)(x - 6y)$

### (7) $a^2x^2 + b^2y^2 - a^2y^2 - b^2x^2$

1. **項を並べ替える:** 式を整理するために、同類項をまとめます。

$a^2x^2 + b^2y^2 - a^2y^2 - b^2x^2 = a^2x^2 - b^2x^2 + b^2y^2 - a^2y^2$

2. **共通因数でくくる:**

$a^2x^2 - b^2x^2 + b^2y^2 - a^2y^2 = x^2(a^2 - b^2) - y^2(a^2 - b^2)$

3. **共通因数でさらにくくる:**

$x^2(a^2 - b^2) - y^2(a^2 - b^2) = (a^2 - b^2)(x^2 - y^2)$

4. **差の二乗の因数分解:** $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ および $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ なので、

$(a^2 - b^2)(x^2 - y^2) = (a + b)(a - b)(x + y)(x - y)$

## 最終的な答え

(6) $(x + 3y)(x - 6y)$

(7) $(a + b)(a - b)(x + y)(x - y)$