全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$ と $B = \{3, 6\}$ が与えられているとき、以下の集合を求める。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A} \cap B$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A \cap B}$ (6) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$ と $B = \{3, 6\}$ が与えられているとき、以下の集合を求める。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A} \cap B$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A \cap B}$

(6) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ は、$U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合である。

$B = \{3, 6\}$ なので、$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$。

(2) $\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の共通部分である。

$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$ であり、$B = \{3, 6\}$ なので、$\overline{A} \cap B = \{6\}$。

(3) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分である。

$A = \{1, 2, 3\}$ であり、$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$ なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$。

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合である。

$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$ であり、$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$ なので、$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$。

(5) $\overline{A \cap B}$ を求めるために、$A \cap B$ を先に求める。

$A = \{1, 2, 3\}$ であり、$B = \{3, 6\}$ なので、$A \cap B = \{3\}$。

したがって、$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$。

(6) これは(3)と同じなので、$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(5) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$