問題16(1): $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$, $z_2 = \cos \beta + i \sin \beta$ のとき、次の等式を証明する。 $z_1 + z_2 = 2 \cos \frac{\alpha - \beta}{2} (\cos \frac{\alpha + \beta}{2} + i \sin \frac{\alpha + \beta}{2})$

1. 問題の内容

問題16(1): $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$, $z_2 = \cos \beta + i \sin \beta$ のとき、次の等式を証明する。

$z_1 + z_2 = 2 \cos \frac{\alpha - \beta}{2} (\cos \frac{\alpha + \beta}{2} + i \sin \frac{\alpha + \beta}{2})$

2. 解き方の手順

左辺を計算する。

$z_1 + z_2 = (\cos \alpha + i \sin \alpha) + (\cos \beta + i \sin \beta) = (\cos \alpha + \cos \beta) + i (\sin \alpha + \sin \beta)$

和積の公式を使う。

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

したがって、

$z_1 + z_2 = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + i 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = 2 \cos \frac{\alpha - \beta}{2} (\cos \frac{\alpha + \beta}{2} + i \sin \frac{\alpha + \beta}{2})$

これは右辺に等しい。

3. 最終的な答え

$z_1 + z_2 = 2 \cos \frac{\alpha - \beta}{2} (\cos \frac{\alpha + \beta}{2} + i \sin \frac{\alpha + \beta}{2})$

が証明された。