複素数 $z$ と $w$ の偏角をそれぞれ $\theta$ と $\varphi$ とするとき、次の等式を証明し、さらに問題13を用いて、与えられた2つの複素数が表す2点の距離を求めよ。 $|z - w|^2 = |z|^2 + |w|^2 - 2|z||w|\cos(\theta - \varphi)$

1. 問題の内容

複素数 $z$ と $w$ の偏角をそれぞれ $\theta$ と $\varphi$ とするとき、次の等式を証明し、さらに問題13を用いて、与えられた2つの複素数が表す2点の距離を求めよ。

$|z - w|^2 = |z|^2 + |w|^2 - 2|z||w|\cos(\theta - \varphi)$

2. 解き方の手順

(1) 等式の証明

複素数 $z$ と $w$ をそれぞれ $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$、$w = |w|(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ と表す。

$|z - w|^2$ を計算する。

$|z - w|^2 = (z - w)(\overline{z - w}) = (z - w)(\overline{z} - \overline{w}) = z\overline{z} - z\overline{w} - w\overline{z} + w\overline{w}$

$= |z|^2 + |w|^2 - z\overline{w} - w\overline{z}$

ここで、$z\overline{w} = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)|w|(\cos\varphi - i\sin\varphi)$

$= |z||w|(\cos\theta\cos\varphi + \sin\theta\sin\varphi + i(\sin\theta\cos\varphi - \cos\theta\sin\varphi))$

$= |z||w|(\cos(\theta - \varphi) + i\sin(\theta - \varphi))$

$w\overline{z} = |w|(\cos\varphi + i\sin\varphi)|z|(\cos\theta - i\sin\theta)$

$= |z||w|(\cos\varphi\cos\theta + \sin\varphi\sin\theta + i(\sin\varphi\cos\theta - \cos\varphi\sin\theta))$

$= |z||w|(\cos(\theta - \varphi) - i\sin(\theta - \varphi))$

$z\overline{w} + w\overline{z} = 2|z||w|\cos(\theta - \varphi)$

したがって、$|z - w|^2 = |z|^2 + |w|^2 - 2|z||w|\cos(\theta - \varphi)$

(2) 2点の距離の計算

与えられた複素数は画像からは読み取れませんでした。問題13の結果を使って2点の距離を求めるには、2つの複素数を$z$、$w$とおき、$|z|$、$|w|$、$\theta$、$\varphi$を求め、$|z - w|^2 = |z|^2 + |w|^2 - 2|z||w|\cos(\theta - \varphi)$ に代入することで $|z-w|$ を求めることができます。$|z-w|$が2点間の距離になります。

3. 最終的な答え

(1) $|z - w|^2 = |z|^2 + |w|^2 - 2|z||w|\cos(\theta - \varphi)$ (証明完了)

(2) 与えられた複素数が不明なため、2点間の距離は計算できません。