画像に写っている複数の展開の問題のうち、 (3) $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ を解く。

1. 問題の内容

画像に写っている複数の展開の問題のうち、

(3) $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$x^2+y^2 = A$ と置くと、

$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) = (A + xy)(A - xy)$

となる。これは和と差の積の公式により

$(A + xy)(A - xy) = A^2 - (xy)^2 = (x^2 + y^2)^2 - x^2y^2$

$= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4$

となる。

よって、与式は

$(x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$

となる。ここで、$x^4 + y^4 = B$ と置くと、

$(x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^4 - x^2y^2 + y^4) = (B + x^2y^2)(B - x^2y^2)$

となる。これも和と差の積の公式により、

$(B + x^2y^2)(B - x^2y^2) = B^2 - (x^2y^2)^2 = (x^4 + y^4)^2 - x^4y^4$

$= x^8 + 2x^4y^4 + y^8 - x^4y^4 = x^8 + x^4y^4 + y^8$

となる。

3. 最終的な答え

$x^8 + x^4y^4 + y^8$