$\sum_{r=0}^{n} {}_nC_r = 2^n$ を示す。

1. 問題の内容

$\sum_{r=0}^{n} {}_nC_r = 2^n$ を示す。

2. 解き方の手順

二項定理を利用する。二項定理は、任意の数 $a, b$ と正の整数 $n$ に対して、次のように表される。

$(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r a^{n-r} b^r$

ここで、$a = 1$、$b = 1$ を代入すると、

$(1+1)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r 1^{n-r} 1^r$

$2^n = \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r$

したがって、$\sum_{r=0}^{n} {}_nC_r = 2^n$ が示された。

3. 最終的な答え

$\sum_{r=0}^{n} {}_nC_r = 2^n$