与えられた数学の問題を解き、空欄を埋める。問題は全部で7問あり、それぞれ異なる分野の問題が出題されている。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解き、空欄を埋める。問題は全部で7問あり、それぞれ異なる分野の問題が出題されている。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}$ の有理化

分母の有理化を行うために、分母の共役な複素数 $\sqrt{8}+\sqrt{7}$ を分母と分子にかける。

$\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{8}+\sqrt{7}}{(\sqrt{8}-\sqrt{7})(\sqrt{8}+\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{8}+\sqrt{7}}{8-7} = \sqrt{8}+\sqrt{7} = 2\sqrt{2}+\sqrt{7}$

(2) 不等式 $2|x-1| < x+3$ の解

絶対値を外すために場合分けを行う。

(i) $x \geq 1$ のとき、$2(x-1) < x+3$ より、$2x-2 < x+3$ なので、$x < 5$。したがって、$1 \leq x < 5$。

(ii) $x < 1$ のとき、$2(1-x) < x+3$ より、$2-2x < x+3$ なので、$-1 < 3x$。したがって、$x > -\frac{1}{3}$。したがって、$-\frac{1}{3} < x < 1$。

(i), (ii)より、$-\frac{1}{3} < x < 5$

(3) $8x^2 - 6x + \frac{1}{8}$ の因数分解

$8x^2 - 6x + \frac{1}{8} = \frac{1}{8}(64x^2 - 48x + 1) = \frac{1}{8}(8x-1)^2$

(4) 2次方程式 $(3x+1)^2 + 3(3x+1) - 10 = 0$ の解

$A = 3x+1$ とおくと、$A^2 + 3A - 10 = 0$ より、$(A+5)(A-2) = 0$。

したがって、$A = -5$ または $A = 2$。

(i) $3x+1 = -5$ のとき、$3x = -6$ なので、$x = -2$。

(ii) $3x+1 = 2$ のとき、$3x = 1$ なので、$x = \frac{1}{3}$。

したがって、$x = -2, \frac{1}{3}$。

(5) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 60^{\circ}, BC = \sqrt{3}, AB = \sqrt{3}-1$ のとき、$\sin C$ の値

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$ なので、$\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin C}$。

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin C}$ より、$2 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin C}$。

したがって、$\sin C = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$。

(6) $x^2 = 2$ は $x = \sqrt{2}$ であるための〇〇条件

$x^2 = 2$ より、$x = \pm \sqrt{2}$。

したがって、$x = \sqrt{2}$ ならば $x^2 = 2$ は真であり、$x^2 = 2$ ならば $x = \sqrt{2}$ は偽 ($x = -\sqrt{2}$ の場合があるため) である。よって、十分条件ではあるが必要条件ではない。(ウ)

(7) a, b, c, d, e, f の6人が1列に並ぶとき、aとbが隣り合うような並び方

aとbをひとまとめにして考えると5!通りの並び方がある。aとbの並び方はab, baの2通り。

したがって、5! * 2 = 120 * 2 = 240通り。

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2}+\sqrt{7}$

(2) $-\frac{1}{3} < x < 5$

(3) $\frac{1}{8}(8x-1)^2$

(4) $x = -2, \frac{1}{3}$

(5) $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

(6) (ウ)

(7) 240