$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とする。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。また、$a_n = 2\sqrt{3}\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} + 6$ となるのはなぜですか？

1. 問題の内容

$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とする。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表しなさい。また、$a_n = 2\sqrt{3}\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} + 6$ となるのはなぜですか？

2. 解き方の手順

まず、$\frac{77}{111}$ を小数で表す。

$\frac{77}{111} = 0.693693693... = 0.\overline{693}$

小数部分は693が繰り返される循環小数である。

したがって、$a_n$ は、nを3で割った余りによって場合分けされる。

* $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 6$

* $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 9$

* $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 3$

次に、与えられた式 $a_n = 2\sqrt{3}\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} + 6$ が正しいかを確認する。

* $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$n-1 \equiv 0 \pmod{3}$。よって、$\frac{2(n-1)\pi}{3} = 2k\pi$ (kは整数)。$\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} = 0$ となる。したがって、$a_n = 2\sqrt{3}(0) + 6 = 6$

* $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$n-1 \equiv 1 \pmod{3}$。よって、$n-1 = 3k+1$ (kは整数)。$\frac{2(n-1)\pi}{3} = \frac{2(3k+1)\pi}{3} = 2k\pi + \frac{2\pi}{3}$。$\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} = \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。したがって、$a_n = 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 = 3 + 6 = 9$

* $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$n-1 \equiv 2 \pmod{3}$。よって、$n-1 = 3k+2$ (kは整数)。$\frac{2(n-1)\pi}{3} = \frac{2(3k+2)\pi}{3} = 2k\pi + \frac{4\pi}{3}$。$\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} = \sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。したがって、$a_n = 2\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 = -3 + 6 = 3$

以上より、$a_n = 2\sqrt{3}\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} + 6$ は正しい。

3. 最終的な答え

$a_n = 2\sqrt{3}\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} + 6$