与えられた式 $\frac{2}{3}S_n = 3 - (2n+3) \cdot (\frac{1}{3})^n$ を $S_n$ について解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{2}{3}S_n = 3 - (2n+3) \cdot (\frac{1}{3})^n$ を $S_n$ について解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $S_n$ について解くために、両辺に $\frac{3}{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{3}S_n = 3 - (2n+3) \cdot (\frac{1}{3})^n$

両辺に $\frac{3}{2}$ を掛けると、

$S_n = \frac{3}{2} \left[ 3 - (2n+3) \cdot (\frac{1}{3})^n \right]$

$S_n = \frac{3}{2} \cdot 3 - \frac{3}{2}(2n+3) \cdot (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{2} - \frac{3(2n+3)}{2 \cdot 3^n}$

$S_n = \frac{9}{2} - \frac{6n+9}{2 \cdot 3^n}$

$S_n = \frac{9}{2} - \frac{3(2n+3)}{2 \cdot 3^n}$

$S_n = \frac{9}{2} - \frac{2n+3}{2 \cdot 3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{9}{2} - \frac{2n+3}{2 \cdot 3^{n-1}}$