方程式 $x^2 - 3|x-1| - ax = 0$ の実数解の個数を、定数 $a$ の値によって分類して調べる。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 - 3|x-1| - ax = 0$ の実数解の個数を、定数 $a$ の値によって分類して調べる。

2. 解き方の手順

まず、絶対値記号を外すために場合分けを行う。

(i) $x \geq 1$ のとき、$|x-1| = x-1$ であるから、方程式は

$x^2 - 3(x-1) - ax = 0$

$x^2 - 3x + 3 - ax = 0$

$x^2 - (a+3)x + 3 = 0$

となる。

(ii) $x < 1$ のとき、$|x-1| = -(x-1) = 1-x$ であるから、方程式は

$x^2 - 3(1-x) - ax = 0$

$x^2 - 3 + 3x - ax = 0$

$x^2 + (3-a)x - 3 = 0$

となる。

それぞれの場合で、方程式を解き、解が場合分けの条件を満たすかどうかを確認する必要がある。さらに、得られた解の個数を $a$ の値によって分類する。

$x^2-(a+3)x+3=0$ より、 $x = \frac{a+3 \pm \sqrt{(a+3)^2 - 12}}{2}$

$x^2+(3-a)x-3=0$ より、$x = \frac{a-3 \pm \sqrt{(3-a)^2 + 12}}{2}$

ここで、 $y = \frac{x^2 - 3|x-1|}{x}$ と $y = a$ のグラフの交点を求めることを考える。$x=0$ は解ではないため、 $x \neq 0$ である。

(i) $x \geq 1$ のとき、 $y = \frac{x^2 - 3(x-1)}{x} = x - 3 + \frac{3}{x}$

(ii) $x < 1$ のとき、 $y = \frac{x^2 - 3(1-x)}{x} = x + 3 - \frac{3}{x}$

$x \geq 1$ において、$y' = 1 - \frac{3}{x^2} = 0$ より、$x^2 = 3$ なので、$x = \sqrt{3}$。

$x = \sqrt{3}$ のとき、$y = \sqrt{3} - 3 + \frac{3}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} - 3 \approx 0.464$

$x < 1$ において、$y' = 1 + \frac{3}{x^2} > 0$ なので、$y$ は単調増加。

$x = 0$ に近づくと、$y$ は $-\infty$ に発散する。

$x = 1$ のとき、$y = 1 + 3 - 3 = 1$

$x^2 - 3|x-1| = ax$ を $f(x)=x^2 - 3|x-1|$と$g(x) = ax$に分けて考えると、$f(x)$は区分的に二次関数で、$g(x)$は原点を通る直線である。グラフを描画して、$a$の値を変化させて交点の個数を調べる。

$a < -3$のとき 1個

$a=-3$のとき 2個

$-3<a<2\sqrt{3}-3$のとき 3個

$a=2\sqrt{3}-3$のとき 2個

$2\sqrt{3}-3 < a < 1$ のとき 3個

$a = 1$のとき 2個

$a > 1$のとき 1個

3. 最終的な答え

$a < -3$のとき 1個

$a=-3$のとき 2個

$-3<a<2\sqrt{3}-3$のとき 3個

$a=2\sqrt{3}-3$のとき 2個

$2\sqrt{3}-3 < a < 1$ のとき 3個

$a = 1$のとき 2個

$a > 1$のとき 1個