$\lim_{n \to \infty} (a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2}) = 0$ が成り立つような実数 $a, b, c$ をすべて求める。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2}) = 0$ が成り立つような実数 $a, b, c$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{n}$ でくくり出す。

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \left(a + b\sqrt{\frac{n+1}{n}} + c\sqrt{\frac{n+2}{n}}\right) = 0$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{n}} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n+2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{n}} = 1$

したがって、$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n} \to \infty$ なので、$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (a + b + c) = 0$ となるためには、

$a + b + c = 0$ である必要がある。

次に、$a + b + c = 0$ の場合を考える。$a = -(b+c)$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \left( -(b+c)\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2} \right) = 0$

$\lim_{n \to \infty} \left( b(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) + c(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) \right) = 0$

$\lim_{n \to \infty} \left( b \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} + c \frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} \right) = 0$

$\lim_{n \to \infty} \left( b \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} + c \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} \right) = 0$

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{b}{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1)} + \frac{2c}{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1)} \right) = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{b}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1} + \frac{2c}{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1} \right) = 0$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ なので、

$\frac{b}{2} + \frac{2c}{2} = 0$

$b + 2c = 0$

$b = -2c$

$a = -(b+c) = -(-2c + c) = -(-c) = c$

したがって、$a=c, b=-2c$

3. 最終的な答え

$a = c, b = -2c$ (c は任意の実数)

または $(a, b, c) = (c, -2c, c)$ （$c$は任意の実数）