$c > 1$のとき、極限$\lim_{n \to \infty} \frac{c^n}{n!}$を求めよ。

1. 問題の内容

$c > 1$のとき、極限$\lim_{n \to \infty} \frac{c^n}{n!}$を求めよ。

2. 解き方の手順

$a_n = \frac{c^n}{n!}$とおく。

すると、

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\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{c^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{c^n} = \frac{c}{n+1}

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$n \to \infty$のとき、$\frac{c}{n+1} \to 0$なので、ある$N$が存在して、$n > N$ならば$\frac{c}{n+1} < 1$となる。

$n > N$なる$n$に対して、$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{c}{n+1} < 1$なので、$a_{n+1} < a_n$。

したがって、$a_n$は単調減少列となる。

また、$a_n > 0$であるから、$a_n$は下に有界な単調減少列なので、ある値に収束する。

ここで、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0$なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。

別の方法として、

$n > c$となる整数$N$をとると、$n > N$に対して、

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\frac{c^n}{n!} = \frac{c}{1} \cdot \frac{c}{2} \cdots \frac{c}{N} \cdot \frac{c}{N+1} \cdots \frac{c}{n}

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ここで、$A = \frac{c}{1} \cdot \frac{c}{2} \cdots \frac{c}{N}$とおくと、$A$は定数であり、

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\frac{c^n}{n!} = A \cdot \frac{c}{N+1} \cdots \frac{c}{n}

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$n \to \infty$のとき、$0 < \frac{c}{N+1} < 1, \dots, 0 < \frac{c}{n} < 1$より、$\frac{c}{N+1} \cdots \frac{c}{n} \to 0$。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{c^n}{n!} = 0$。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} \frac{c^n}{n!} = 0$