次の2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \pi} \frac{(x-\pi)^2}{1 + \cos x}$ (2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{4}}$

## 問題の回答

1. 問題の内容

次の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \pi} \frac{(x-\pi)^2}{1 + \cos x}$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{4}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \pi} \frac{(x-\pi)^2}{1 + \cos x}$

$x - \pi = t$ と置くと、$x = t + \pi$ であり、$x \to \pi$ のとき、$t \to 0$ となる。したがって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{(x-\pi)^2}{1 + \cos x} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{1 + \cos(t + \pi)}$

$\cos(t + \pi) = \cos t \cos \pi - \sin t \sin \pi = -\cos t$ なので、

$\lim_{t \to 0} \frac{t^2}{1 + \cos(t + \pi)} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{1 - \cos t}$

ここで、$1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$ を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{t^2}{1 - \cos t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{2 \sin^2 \frac{t}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{2 (\frac{t}{2})^2} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{2 \cdot \frac{t^2}{4}} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{\frac{t^2}{2}} = 2$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{4}}$

これは微分係数の定義の形をしている。

$f(x) = \sin x - \cos x$ とすると、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{4}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{f(x) - f(\frac{\pi}{4})}{x - \frac{\pi}{4}} = f'(\frac{\pi}{4})$

ここで、$f'(x) = \cos x + \sin x$ なので、

$f'(\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\sqrt{2}$