関数 $f(x)$ が与えられています。 $ f(x) = \begin{cases} x^2 & (|x| \ge 1) \\ \frac{1}{x} & (|x| < 1) \end{cases} $ この関数が $x = \pm 1$ で連続かどうかを調べ、グラフを描きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} x^2 & (|x| \ge 1) \\ \frac{1}{x} & (|x| < 1) \end{cases}$

この関数が $x = \pm 1$ で連続かどうかを調べ、グラフを描きます。

2. 解き方の手順

関数が $x = a$ で連続であるとは、以下の3つの条件がすべて満たされることです。

(1) $f(a)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

まず、$x = 1$ における連続性を調べます。

$f(1) = 1^2 = 1$ であるため、(1)の条件は満たされています。

次に、$\lim_{x \to 1^-} f(x)$ と $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ を計算します。

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^2 = 1^2 = 1$

左右からの極限が等しいので、$\lim_{x \to 1} f(x) = 1$ となり、(2)の条件も満たされています。

最後に、$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1$ なので、(3)の条件も満たされています。

したがって、$f(x)$ は $x = 1$ で連続です。

次に、$x = -1$ における連続性を調べます。

$f(-1) = (-1)^2 = 1$ であるため、(1)の条件は満たされています。

次に、$\lim_{x \to -1^-} f(x)$ と $\lim_{x \to -1^+} f(x)$ を計算します。

$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} x^2 = (-1)^2 = 1$

$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{-1} = -1$

左右からの極限が等しくないので、$\lim_{x \to -1} f(x)$ は存在しません。

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で不連続です。

$y = f(x)$ のグラフは、

$|x| \ge 1$ のとき、$y = x^2$。

$|x| < 1$ のとき、$y = \frac{1}{x}$。

となるようにグラフを描画します。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $x = 1$ で連続であり、$x = -1$ で不連続です。

グラフは、

$x \ge 1$ で $y = x^2$

$-1 < x < 1$ で $y = \frac{1}{x}$

$x \le -1$ で $y = x^2$

となるように描画します。