与えられた6つの関数を不定積分する問題です。 (1) $\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) dx$ (2) $\int \cos x dx$ (3) $\int \frac{x}{x^2 + 1} dx$ (4) $\int \frac{1}{\tan x} dx$ (5) $\int xe^x dx$ (6) $\int \log x dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を不定積分する問題です。

(1) $\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) dx$

(2) $\int \cos x dx$

(3) $\int \frac{x}{x^2 + 1} dx$

(4) $\int \frac{1}{\tan x} dx$

(5) $\int xe^x dx$

(6) $\int \log x dx$

2. 解き方の手順

(1) 多項式の積分は、各項を個別に積分します。

$\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) dx = 2 \int x^3 dx + 3 \int x^2 dx - 4 \int x dx + 5 \int dx$

$= 2 \cdot \frac{x^4}{4} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C$

$= \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C$

(2) $\cos x$ の積分は基本的な積分公式です。

$\int \cos x dx = \sin x + C$

(3) $x^2 + 1 = t$ と置換すると、$2x dx = dt$ となり、$x dx = \frac{1}{2} dt$ です。

$\int \frac{x}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log |t| + C = \frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + C$ (∵ $x^2+1>0$)

(4) $\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$ なので、$\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$ です。

$\sin x = t$ と置換すると、$\cos x dx = dt$ です。

$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{t} dt = \log |t| + C = \log |\sin x| + C$

(5) 部分積分を行います。$\int u dv = uv - \int v du$

$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ です。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$

(6) 部分積分を行います。$\int u dv = uv - \int v du$

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ です。

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C$

(2) $\sin x + C$

(3) $\frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + C$

(4) $\log |\sin x| + C$

(5) $(x - 1)e^x + C$

(6) $x \log x - x + C$