与えられた複素数の累乗を計算する問題です。 具体的には、$\left( \frac{1+4i}{3-5i} \right)^{-1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の累乗を計算する問題です。

具体的には、$\left( \frac{1+4i}{3-5i} \right)^{-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、複素数の割り算を行います。分母の共役複素数を分母と分子に掛けます。分母の $3-5i$ の共役複素数は $3+5i$ です。

$\frac{1+4i}{3-5i} = \frac{(1+4i)(3+5i)}{(3-5i)(3+5i)}$

分子を展開します。

$(1+4i)(3+5i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 5i + 4i \cdot 3 + 4i \cdot 5i = 3 + 5i + 12i + 20i^2 = 3 + 17i - 20 = -17 + 17i$

分母を展開します。

$(3-5i)(3+5i) = 3^2 - (5i)^2 = 9 - 25i^2 = 9 + 25 = 34$

したがって、$\frac{1+4i}{3-5i} = \frac{-17+17i}{34} = \frac{-1+i}{2}$

次に、$(\frac{-1+i}{2})^{-1}$ を計算します。

これは、$\frac{2}{-1+i}$ に等しいです。

再び、分母の共役複素数 $-1-i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{2}{-1+i} = \frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \frac{-2-2i}{(-1)^2 - i^2} = \frac{-2-2i}{1-(-1)} = \frac{-2-2i}{2} = -1-i$

3. 最終的な答え

$-1 - i$