複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 = -8(1+\sqrt{3}i)$ を解き、$z$ を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 = -8(1+\sqrt{3}i)$ を解き、$z$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺の複素数を極形式で表します。

$-8(1+\sqrt{3}i) = -8 - 8\sqrt{3}i$ の絶対値は

$r = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16$ です。

偏角 $\theta$ については、

$\cos \theta = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$ かつ $\sin \theta = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるので、

$\theta = \frac{4\pi}{3}$ です。

したがって、$-8(1+\sqrt{3}i) = 16(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))$ となります。

次に、 $z = R(\cos \phi + i \sin \phi)$ とおくと、ド・モアブルの定理より

$z^4 = R^4(\cos(4\phi) + i\sin(4\phi))$ となります。

よって、$R^4 = 16$ なので $R=2$ であり、

$4\phi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ ($k$ は整数) となります。

したがって、$\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$ ($k=0,1,2,3$) です。

$k=0$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{3}$ であり、$z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$

$k=1$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$ であり、$z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$

$k=2$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$ であり、$z = 2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}$

$k=3$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{11\pi}{6}$ であり、$z = 2(\cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6})) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} - i$

3. 最終的な答え

$z = 1 + i\sqrt{3}, -\sqrt{3} + i, -1 - i\sqrt{3}, \sqrt{3} - i$