3点A(-2, 3, 1), B(-3, 1, 2), C(-1, 2, 3)が与えられている。 (1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角を求める。 (2) 3点A, B, Cで定まる三角形ABCの面積Sを求める。

1. 問題の内容

3点A(-2, 3, 1), B(-3, 1, 2), C(-1, 2, 3)が与えられている。

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角を求める。

(2) 3点A, B, Cで定まる三角形ABCの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を求める。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (-3 - (-2), 1 - 3, 2 - 1) = (-1, -2, 1)$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (-1 - (-2), 2 - 3, 3 - 1) = (1, -1, 2)$

内積$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$を計算する。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1)(1) + (-2)(-1) + (1)(2) = -1 + 2 + 2 = 3$

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の大きさを計算する。

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角を$\theta$とすると、

$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または 60度)

(2) 三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$で与えられる。

外積$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$を計算する。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = ((-2)(2) - (1)(-1))\vec{i} - ((-1)(2) - (1)(1))\vec{j} + ((-1)(-1) - (-2)(1))\vec{k} = (-4 + 1)\vec{i} - (-2 - 1)\vec{j} + (1 + 2)\vec{k} = -3\vec{i} + 3\vec{j} + 3\vec{k} = (-3, 3, 3)$

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} (3\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$ (または 60度)

(2) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$