(1) 不等式 $x^2 + (1-a)x - a < 0$ と $6x^2 - x - 1 > 0$ を同時に満たす整数がちょうど2つ存在するような、実数の定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。ただし、$a>0$ とします。 (2) 不等式 $3x^2 - 5x - 2 \ge 0$ と $6x^2 + (9+2a)x + 3a < 0$ を同時に満たす $x$ の値のうち、整数が $-1$ だけとなるような実数の定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $x^2 + (1-a)x - a < 0$ と $6x^2 - x - 1 > 0$ を同時に満たす整数がちょうど2つ存在するような、実数の定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。ただし、$a>0$ とします。

(2) 不等式 $3x^2 - 5x - 2 \ge 0$ と $6x^2 + (9+2a)x + 3a < 0$ を同時に満たす $x$ の値のうち、整数が $-1$ だけとなるような実数の定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの不等式を解きます。

$x^2 + (1-a)x - a < 0$ は、$(x+1)(x-a) < 0$ と因数分解できます。$a>0$ より、$-1 < x < a$ が解となります。

$6x^2 - x - 1 > 0$ は、$(2x-1)(3x+1) > 0$ と因数分解できます。よって、$x < -\frac{1}{3}$ または $x > \frac{1}{2}$ が解となります。

2つの不等式を同時に満たす整数がちょうど2つ存在するためには、$a$ がどのような範囲にあるかを考えます。

$-1 < x < a$ と $x < -\frac{1}{3}$ または $x > \frac{1}{2}$ を満たす整数が2つ。

$x=0,1$ が該当する必要がある。

$x=0$ を満たすためには $a>0$ である必要があり、 $x=1$ を満たすためには $a>1$ である必要がある。$x=2$を満たさないためには、$a\leq2$ である必要がある。

$1<a\le 2$

(2)

まず、$3x^2 - 5x - 2 \ge 0$ を解きます。$(3x+1)(x-2) \ge 0$ と因数分解できるので、$x \le -\frac{1}{3}$ または $x \ge 2$ となります。

次に、$6x^2 + (9+2a)x + 3a < 0$ を解きます。$(2x+3)(3x+a) < 0$ と因数分解できます。

$-1$ だけが条件を満たす整数なので $-1 \le x \le -\frac{1}{3}$

$x$について $(2x+3)(3x+a) < 0$を満たすものが、-1のみである必要があり、-2,0などの整数を含んではならない。

$a>0$ より

$(2x+3)(3x+a) < 0$ を満たすのは $-3/2 < x < -a/3$

$x$について $(2x+3)(3x+a) < 0$を満たすものが、-1のみである必要があり、-2,0などの整数を含んではならない。

$-\frac{3}{2} < -\frac{a}{3}$

$a<9/2$

$3x^2-5x-2\ge 0$より$x \le -\frac{1}{3}$ または $x \ge 2$

$(2x+3)(3x+a)<0$より$-3/2 < x < -a/3$

この2つを両方満たす整数が-1のみ

-1は満たす必要があるので、$-a/3 > -1$ $a<3$

x=-2は満たしてはならないので$-a/3 < -2$ $a>6$

$3 < a < 6$は条件を満たさないので、 $a=3$ または $a=6$も考えなければならない。

a=3のとき $(2x+3)(3x+3)<0$ より$(2x+3)(x+1)<0$ -3/2 < x < -1 条件を満たさない

a=6のとき $(2x+3)(3x+6)<0$ より$(2x+3)(x+2)<0$ -2 < x < -3/2 条件を満たさない

まとめると

$-a/3 > -2$

$a < 6$

$-a/3 \le -1$

$a \ge 3$

$3 \le a < 6$

3. 最終的な答え

(1) $1 < a \le 2$

(2) $3 \le a < 6$