$a$を定数とする。不等式$ax + 3 > 2x$を$a$について、場合分けして解け。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。不等式$ax + 3 > 2x$を$a$について、場合分けして解け。

2. 解き方の手順

不等式$ax + 3 > 2x$を$x$について解きたい。まず、$x$の項を左辺に、定数項を右辺にまとめる。

$ax - 2x > -3$

$(a-2)x > -3$

次に、$a-2$の値によって場合分けを行う。

(i) $a-2 > 0$、すなわち、$a > 2$のとき

$x > \frac{-3}{a-2}$

(ii) $a-2 < 0$、すなわち、$a < 2$のとき

$x < \frac{-3}{a-2}$

(iii) $a-2 = 0$、すなわち、$a = 2$のとき

$0 \cdot x > -3$

この不等式は、$x$がどんな値でも成り立つ。したがって、$x$はすべての実数である。

3. 最終的な答え

$a > 2$のとき、$x > \frac{-3}{a-2}$

$a < 2$のとき、$x < \frac{-3}{a-2}$

$a = 2$のとき、$x$はすべての実数