与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)$を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、この結果に$(c+a)$をかけます。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

これを整理すると、

$2abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b$

最後に、$abc$を足します。

$2abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + abc = 3abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b$

この式は、$a, b, c$に関する対称式であることに注目します。

$3abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b = (a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

なので、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$を展開したものが答えとなります。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + ac^2 = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

3. 最終的な答え

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

または

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$