半径1の半球に外接する直円錐を考える。直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にある。直円錐の高さを $h$ 、底面の半径を $r$ 、表面積を $S$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $S$ を $h$ の関数で表す。 (2) $S$ の最小値とそのときの $h$、$r$ の値を求める。

1. 問題の内容

半径1の半球に外接する直円錐を考える。直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にある。直円錐の高さを $h$ 、底面の半径を $r$ 、表面積を $S$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $S$ を $h$ の関数で表す。

(2) $S$ の最小値とそのときの $h$、$r$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $S$ を $h$ の関数で表す。

直円錐の底面の半径 $r$ は、直角三角形の相似から、

$\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{h^2-1}}$ より、

$r^2(h^2-1) = h^2$

$r^2 = \frac{h^2}{h^2-1}$

$r = \frac{h}{\sqrt{h^2-1}}$

直円錐の母線の長さ $l$ は、

$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{\frac{h^2}{h^2-1} + h^2} = \sqrt{\frac{h^2+h^4-h^2}{h^2-1}} = \sqrt{\frac{h^4}{h^2-1}} = \frac{h^2}{\sqrt{h^2-1}}$

直円錐の表面積 $S$ は、

$S = \pi r^2 + \pi r l = \pi \frac{h^2}{h^2-1} + \pi \frac{h}{\sqrt{h^2-1}} \frac{h^2}{\sqrt{h^2-1}} = \pi \frac{h^2}{h^2-1} + \pi \frac{h^3}{h^2-1} = \pi \frac{h^2+h^3}{h^2-1} = \pi \frac{h^2(h+1)}{(h-1)(h+1)} = \pi \frac{h^2}{h-1}$

よって、$S = \pi \frac{h^2}{h-1}$

(2) $S$ の最小値とそのときの $h$、$r$ の値を求める。

$S = \pi \frac{h^2}{h-1}$ を $h$ で微分する。

$\frac{dS}{dh} = \pi \frac{2h(h-1) - h^2}{(h-1)^2} = \pi \frac{2h^2 - 2h - h^2}{(h-1)^2} = \pi \frac{h^2 - 2h}{(h-1)^2} = \pi \frac{h(h-2)}{(h-1)^2}$

$\frac{dS}{dh} = 0$ となるのは、$h = 2$ のとき。

$h > 1$ であるから、$h=2$ は条件を満たす。

$h = 2$ のとき、$r = \frac{2}{\sqrt{2^2 - 1}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$S = \pi \frac{2^2}{2-1} = 4\pi$

したがって、Sの最小値は $4\pi$ であり、そのときの $h$ の値は $2$、$r$ の値は $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $S = \pi \frac{h^2}{h-1}$

(2) $S$ の最小値：$4\pi$ 、そのときの $h$ の値：$2$ 、$r$ の値：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$