与えられた関数 $y = \frac{(x+1)(x+2)}{x+3}$ を対数微分法を用いて微分する問題です。問題文には途中の計算過程が示されており、最終的な導関数 $y'$ を求めることが目的です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{(x+1)(x+2)}{x+3}$ を対数微分法を用いて微分する問題です。問題文には途中の計算過程が示されており、最終的な導関数 $y'$ を求めることが目的です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \frac{(x+1)(x+2)}{x+3}$ の両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log \left( \frac{(x+1)(x+2)}{x+3} \right) = \log(x+1) + \log(x+2) - \log(x+3)$

次に、この式を $x$ で微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$

右辺をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{(x+2)(x+3) + (x+1)(x+3) - (x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

分子を展開して整理します。

$\frac{y'}{y} = \frac{(x^2+5x+6) + (x^2+4x+3) - (x^2+3x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{x^2+6x+7}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

したがって、

$y' = y \cdot \frac{x^2+6x+7}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{(x+1)(x+2)}{x+3} \cdot \frac{x^2+6x+7}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{x^2+6x+7}{(x+3)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{x^2+6x+7}{(x+3)^2}$