1 の 3 乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、$\omega^4 + \omega^2 + 1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

1 の 3 乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、$\omega^4 + \omega^2 + 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\omega$ は 1 の 3 乗根なので、$\omega^3 = 1$ が成り立ちます。

また、$\omega$ は $x^3 = 1$ の解なので、$x^3 - 1 = 0$ を満たします。

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$ と因数分解でき、$\omega$ は虚数であることから $\omega \neq 1$ です。

したがって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立ちます。

$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$ となります。

$\omega^4 + \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ であるので、

$\omega + \omega^2 + 1 = 0$

3. 最終的な答え

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