関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ (定義域 $0 \le x \le a$) の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求める。 (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求める。 (3) $a > 5$ のとき、$M$ と $m$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ (定義域 $0 \le x \le a$) の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求める。

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求める。

(3) $a > 5$ のとき、$M$ と $m$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 5x + 3$ を平方完成する。

$f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

この関数の軸は $x = \frac{5}{2}$ であり、下に凸な放物線である。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき

この範囲では、軸 $x = \frac{5}{2}$ は範囲外にある。

$f(x)$ は区間 $0 \le x \le a$ で単調減少である。

したがって、最大値は $M = f(0) = 0^2 - 5 \cdot 0 + 3 = 3$

最小値は $m = f(a) = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき

この範囲では、軸 $x = \frac{5}{2}$ は範囲内にある。

$f(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ で最小値をとる。

したがって、最小値は $m = f(\frac{5}{2}) = (\frac{5}{2} - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4} = -\frac{13}{4}$

最大値は、$x = 0$ と $x = a$ のうち、$x = \frac{5}{2}$ から遠い方でとる。

$0 \le a \le 5$ なので、$|0 - \frac{5}{2}| = \frac{5}{2}$、$|a - \frac{5}{2}| \le \frac{5}{2}$ である。

したがって、$f(0) = 3$ が最大値となる。$M = 3$

(3) $a > 5$ のとき

この範囲では、軸 $x = \frac{5}{2}$ は範囲内にある。

$f(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ で最小値をとる。

したがって、最小値は $m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{13}{4}$

最大値は、$x = 0$ と $x = a$ のうち、$x = \frac{5}{2}$ から遠い方でとる。

$a > 5$ なので、$|a - \frac{5}{2}| > \frac{5}{2}$ である。よって、$f(a)$ が最大値となる。$M = f(a) = a^2 - 5a + 3$

3. 最終的な答え

(1) $M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$

(3) $M = a^2 - 5a + 3$, $m = -\frac{13}{4}$