実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 = 4$ より、$y^2 = 4 - x^2$ である。

これを $4x + 2y^2$ に代入すると、

$4x + 2y^2 = 4x + 2(4 - x^2) = 4x + 8 - 2x^2 = -2x^2 + 4x + 8$

となる。

ここで、$f(x) = -2x^2 + 4x + 8$ とおく。

$f(x)$ を平方完成すると、

$f(x) = -2(x^2 - 2x) + 8 = -2((x - 1)^2 - 1) + 8 = -2(x - 1)^2 + 2 + 8 = -2(x - 1)^2 + 10$

となる。

$x^2 + y^2 = 4$ より、$x$ の範囲は $-2 \leq x \leq 2$ である。

$f(x)$ は $x = 1$ で最大値 $10$ をとる。このとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - 1^2 = 3$ より、$y = \pm \sqrt{3}$ である。

また、$x = -2$ のとき、$f(-2) = -2(-2 - 1)^2 + 10 = -2(9) + 10 = -18 + 10 = -8$

である。このとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - (-2)^2 = 0$ より、$y = 0$ である。

$x = 2$ のとき、$f(2) = -2(2 - 1)^2 + 10 = -2(1) + 10 = -2 + 10 = 8$

である。このとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - (2)^2 = 0$ より、$y = 0$ である。

したがって、$4x + 2y^2$ は $x = 1, y = \pm \sqrt{3}$ のとき最大値 $10$ をとり、$x = -2, y = 0$ のとき最小値 $-8$ をとる。

3. 最終的な答え

$x = 1, y = \pm \sqrt{3}$ のとき最大値 $10$

$x = -2, y = 0$ のとき最小値 $-8$