関数 $y = -|x-2| + 3$ について以下の問いに答えます。 (2) $-1 \le x \le 3$ に対する値域を求めます。 (3) $a < 2 < b$ を満たす定数 $a, b$ に対して、$a \le x \le b$ に対する値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -|x-2| + 3$ について以下の問いに答えます。

(2) $-1 \le x \le 3$ に対する値域を求めます。

(3) $a < 2 < b$ を満たす定数 $a, b$ に対して、$a \le x \le b$ に対する値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(2)

関数 $y = -|x-2| + 3$ のグラフを考えます。

$x = 2$ のとき、$y = 3$ となり、これが最大値です。

$x < 2$ のとき、$y = -(2-x) + 3 = x+1$ となります。

$x > 2$ のとき、$y = -(x-2) + 3 = -x+5$ となります。

$x$ の範囲が $-1 \le x \le 3$ なので、

$x = -1$ のとき、$y = -|-1-2|+3 = -3+3 = 0$ となります。

$x = 3$ のとき、$y = -|3-2|+3 = -1+3 = 2$ となります。

したがって、$-1 \le x \le 3$ における $y$ の最大値は、$x=2$のときの$y=3$ であり、最小値は$x=-1$のときの$y=0$です。

よって、値域は $0 \le y \le 3$ となります。

(3)

$a < 2 < b$ であり、$a \le x \le b$ のとき $2-a \le y \le b$ となります。

$y$ の最大値は、$x=2$のとき$y=3$となるので、$b=3$ である必要があります。

なぜなら$2<b$なので、関数は$x=b$の時に最小値をとります。

$x = a$ のとき $y = 2-a$ になり、$y$ の最小値になるので、 $2 < b$の範囲で考えると、$x$が$a$の時に最小値を取ります。

よって、$y = -|a-2| + 3 = 2 - a$ になります。

$a < 2$ なので、$|a-2| = 2-a$ となります。

$-|a-2| + 3 = -(2-a) + 3 = a - 2 + 3 = a + 1$

したがって、$a+1 = 2-a$ となり、$2a = 1$ より $a = \frac{1}{2}$ となります。

$a = \frac{1}{2}$ と $b = 3$ は $a < 2 < b$ を満たします。

3. 最終的な答え

(2) $0 \le y \le 3$

(3) $a = \frac{1}{2}$, $b = 3$