(1) 初項 $a_1 = 3$、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2$ が与えられたとき、$a_n$ を求めよ。 (2) 初項 $a_1 = 4$、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n$ が与えられたとき、$a_n$ を求めよ。 (3) 初項 $a_1 = 1$、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$ が与えられたとき、$b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと、$b_n$ を求めよ。また、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を求めよ。$a_1 = 1$ なので、$n \ge 1$ のとき、$a_n$ を求めよ。 (4) $a_{n+1}$ と $a_n$ の間に $a_{n+1} = a_n = 3(a_n - a_{n+1} + 4)$ の関係があるという。このとき、$a_{n+1} = $ となる。いま、$a_1 = 2$ とすると $a_n =$ となる。

1. 問題の内容

(1) 初項 $a_1 = 3$、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2$ が与えられたとき、$a_n$ を求めよ。

(2) 初項 $a_1 = 4$、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n$ が与えられたとき、$a_n$ を求めよ。

(3) 初項 $a_1 = 1$、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$ が与えられたとき、$b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと、$b_n$ を求めよ。また、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を求めよ。$a_1 = 1$ なので、$n \ge 1$ のとき、$a_n$ を求めよ。

(4) $a_{n+1}$ と $a_n$ の間に $a_{n+1} = a_n = 3(a_n - a_{n+1} + 4)$ の関係があるという。このとき、$a_{n+1} =$ となる。いま、$a_1 = 2$ とすると $a_n =$ となる。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列なので、$a_n = a_1 + (n-1)d$ を使う。ここで、$a_1 = 3$、$d = 2$ である。

よって、$a_n = 3 + (n-1)2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$

(2) 等比数列なので、$a_n = a_1 r^{n-1}$ を使う。ここで、$a_1 = 4$、$r = 2$ である。

よって、$a_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$

(3)

$b_n = a_{n+1} - a_n = (a_n + 2n) - a_n = 2n$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ であるから、

$n \ge 1$ のとき、$a_n = n^2 - n + 1$

(4) $a_{n+1} - a_n = 3(a_n - a_{n+1} + 4)$ より、

$a_{n+1} - a_n = 3a_n - 3a_{n+1} + 12$

$4a_{n+1} = 4a_n + 12$

$a_{n+1} = a_n + 3$

これは等差数列なので、$a_n = a_1 + (n-1)d$ を使う。ここで、$a_1 = 2$、$d = 3$ である。

よって、$a_n = 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n + 1$

(2) $a_n = 2^{n+1}$

(3) $b_n = 2n$、$a_n = n^2 - n + 1$、$a_n = n^2 - n + 1$

(4) $a_{n+1} = a_n + 3$、$a_n = 3n - 1$