袋の中に白玉が4個、赤玉が2個入っている。この袋から玉を1個ずつ取り出していき、赤玉が出たら取り出すのを止める。玉を取り出す回数の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が4個、赤玉が2個入っている。この袋から玉を1個ずつ取り出していき、赤玉が出たら取り出すのを止める。玉を取り出す回数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

玉を取り出す回数を$X$とする。$X$が取りうる値は1, 2, 3, 4, 5である。それぞれの確率を計算し、期待値を求める。

- $X=1$となるのは、1回目に赤玉を取り出す場合なので、$P(X=1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

- $X=2$となるのは、1回目に白玉を取り出し、2回目に赤玉を取り出す場合なので、$P(X=2) = \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$

- $X=3$となるのは、1,2回目に白玉を取り出し、3回目に赤玉を取り出す場合なので、$P(X=3) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{1}{5}$

- $X=4$となるのは、1,2,3回目に白玉を取り出し、4回目に赤玉を取り出す場合なので、$P(X=4) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{15}$

- $X=5$となるのは、1,2,3,4回目に白玉を取り出し、5回目に赤玉を取り出す場合なので、$P(X=5) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{1}{15}$

玉を取り出す回数の期待値$E(X)$は、

$E(X) = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) + 4 \times P(X=4) + 5 \times P(X=5)$

$= 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{4}{15} + 3 \times \frac{1}{5} + 4 \times \frac{2}{15} + 5 \times \frac{1}{15}$

$= \frac{1}{3} + \frac{8}{15} + \frac{3}{5} + \frac{8}{15} + \frac{5}{15}$

$= \frac{5}{15} + \frac{8}{15} + \frac{9}{15} + \frac{8}{15} + \frac{5}{15}$

$= \frac{35}{15} = \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{3}$