40以下の自然数の中で、3の倍数の集合をA、4の倍数の集合をBとするとき、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $n(A)$ (2) $n(\overline{A})$ (3) $n(A \cap B)$ (4) $n(A \cup B)$

1. 問題の内容

40以下の自然数の中で、3の倍数の集合をA、4の倍数の集合をBとするとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $n(A)$

(2) $n(\overline{A})$

(3) $n(A \cap B)$

(4) $n(A \cup B)$

2. 解き方の手順

(1) $n(A)$（3の倍数の個数）：

40以下の3の倍数は、3, 6, 9, ..., 39 です。39 ÷ 3 = 13 なので、$n(A) = 13$ です。

(2) $n(\overline{A})$（3の倍数でない数の個数）：

40以下の自然数は1から40まで40個あります。3の倍数でない数の個数は、40 - 13 = 27 なので、$n(\overline{A}) = 27$ です。

(3) $n(A \cap B)$（3の倍数かつ4の倍数の個数）：

3の倍数かつ4の倍数は、3と4の最小公倍数である12の倍数です。40以下の12の倍数は、12, 24, 36 です。したがって、$n(A \cap B) = 3$ です。

(4) $n(A \cup B)$（3の倍数または4の倍数の個数）：

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ で計算できます。

$n(A) = 13$ (3の倍数の個数)

$n(B)$（4の倍数の個数）：40 ÷ 4 = 10 なので、$n(B) = 10$

$n(A \cap B) = 3$ (12の倍数の個数)

よって、$n(A \cup B) = 13 + 10 - 3 = 20$ です。

3. 最終的な答え

(1) $n(A) = 13$

(2) $n(\overline{A}) = 27$

(3) $n(A \cap B) = 3$

(4) $n(A \cup B) = 20$