与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} a & a & a \\ a & a^2 & a^3 \\ a & a^3 & a^5 \end{pmatrix}$ に対して、 (1) 行列式 $|A|$ を因数分解しなさい。 (2) 行列 $A$ の階数を求めなさい。ただし、$a$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} a & a & a \\ a & a^2 & a^3 \\ a & a^3 & a^5 \end{pmatrix}$ に対して、

(1) 行列式 $|A|$ を因数分解しなさい。

(2) 行列 $A$ の階数を求めなさい。ただし、$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $|A|$ の計算と因数分解

行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = \begin{vmatrix} a & a & a \\ a & a^2 & a^3 \\ a & a^3 & a^5 \end{vmatrix}$

まず、1行目から $a$、2行目から $a$、3行目から $a$ をくくり出すと、

$|A| = a^3 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a^4 \end{vmatrix}$

次に、2行目から1行目を引き、3行目から1行目を引くと、

$|A| = a^3 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & a^2-1 \\ 0 & a^2-1 & a^4-1 \end{vmatrix}$

行列式を展開すると、

$|A| = a^3 \begin{vmatrix} a-1 & a^2-1 \\ a^2-1 & a^4-1 \end{vmatrix} = a^3[(a-1)(a^4-1)-(a^2-1)^2]$

$|A| = a^3[(a-1)(a-1)(a^3+a^2+a+1)-(a-1)^2(a+1)^2]$

$|A| = a^3(a-1)^2 [(a^3+a^2+a+1)-(a+1)^2]$

$|A| = a^3(a-1)^2 [a^3+a^2+a+1-(a^2+2a+1)]$

$|A| = a^3(a-1)^2 [a^3-a] = a^4(a-1)^2(a^2-1) = a^4(a-1)^2(a-1)(a+1)$

$|A| = a^4(a-1)^3(a+1)$

(2) 行列 $A$ の階数の決定

行列 $A$ の階数を求める。

(i) $a = 0$ のとき: $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。よって、rank($A$) = 0。

(ii) $a = 1$ のとき: $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。よって、rank($A$) = 1。

(iii) $a = -1$ のとき: $A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。明らかに1行目と2行目は線形独立なので、rank($A$) $\geq$ 2。

$|A| = 0$ なので、rank($A$) < 3。よって、rank($A$) = 2。

(iv) $a \neq 0, 1, -1$ のとき: $|A| \neq 0$ であるため、rank($A$) = 3。

3. 最終的な答え

(1) $|A| = a^4(a-1)^3(a+1)$

(2)

* $a = 0$ のとき、rank($A$) = 0

* $a = 1$ のとき、rank($A$) = 1

* $a = -1$ のとき、rank($A$) = 2

* $a \neq 0, 1, -1$ のとき、rank($A$) = 3