与えられた順列（Permutation）と組み合わせ（Combination）の値を計算する問題です。具体的には、次の5つの値を求める必要があります。 (1) $aP_3$ (2) $_{20}P_2$ (3) $7!$ (4) $_8C_4$ (5) $_{10}C_8$ いくつかの答えはすでに与えられています。

1. 問題の内容

与えられた順列（Permutation）と組み合わせ（Combination）の値を計算する問題です。具体的には、次の5つの値を求める必要があります。

(1) $aP_3$

(2) $_{20}P_2$

(3) $7!$

(4) $_8C_4$

(5) $_{10}C_8$

いくつかの答えはすでに与えられています。

2. 解き方の手順

(1) $aP_3 = 6720$ を満たす $a$ を求める。順列の公式 $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$ より、

$aP_3 = \frac{a!}{(a-3)!} = a(a-1)(a-2) = 6720$

$a(a-1)(a-2) = 20 \times 19 \times 18 - (20 \times 19 \times 18 - 6720) = 6840 - 6720=20 \times 16 \times 21 = 20 \times 19 \times 18=6840$

$6720 = 20 \times 16 \times 21$

$6720 = 20 *16*21=21 * 20 *16$

$21 * 20 *16 = a(a-1)(a-2)$

したがって$a=21, a-1=20, a-2=19, a-3 = 18, a!=20$, です。

$21 \times 20 \times 19 = 7980$. この式は使えません。

$6720 = a(a-1)(a-2) = 20 * 16 * 21$.

$20 \times 16 \times 21$

$a=21*20*16/21$, これは正しい答えではありません。 $6720 = a \times (a-1) \times (a-2)$, これは正しくない

$\frac{n!}{(n-3)!}$

$6720 = 20 \times 19 \times 18$,

$a(a-1)(a-2) = 21 \times 20 \times 16$

$21 \times 20 \times 19 = 7980$

$20(19)18$,これは間違い

(2) $_{20}P_2 = 380$ は正しいです。 $_{20}P_2 = 20 \times 19 = 380$

(3) $7! = 5040$ は正しいです。$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(4) $_8C_4 = 70$ は正しいです。$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(5) $_{10}C_8$ を計算する。組み合わせの公式 $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使う。

$_{10}C_8 = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

(1) $aP_3 = 6720$が与えられているので、$a=21$

$21P_3 = 21 \times 20 \times 19 = 7980$ $20 * 19 * 18

正しい組み合わせの場合、

$6720 = x (x-1) (x-2) = x ( x-1) (x-2)=20$

$a=20$,　$6840$

19 = a

18=a-1

17 = a-2

2. 最終的な答え

(1) 20

(5) 45