与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} a & a & a \\ a & a^2 & a^3 \\ a & a^3 & a^5 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 行列式 $|A|$ を因数分解してください。 (2) 行列 $A$ の階数を求めてください。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} a & a & a \\ a & a^2 & a^3 \\ a & a^3 & a^5 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 行列式 $|A|$ を因数分解してください。

(2) 行列 $A$ の階数を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $|A|$ の計算と因数分解

行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = \begin{vmatrix} a & a & a \\ a & a^2 & a^3 \\ a & a^3 & a^5 \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & a^2 & a^3 \\ a & a^3 & a^5 \end{vmatrix}$

行列式の性質を利用して計算を簡略化します。1列目でくくりだした $a$ は全体の行列式にかかることに注意します。

第2行から第1行の$a$倍を引き、第3行から第1行の$a$倍を引きます。

$|A| = a \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a^2-a & a^3-a \\ 0 & a^3-a & a^5-a \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} a^2-a & a^3-a \\ a^3-a & a^5-a \end{vmatrix}$

2x2の行列式を計算します。

$|A| = a[(a^2-a)(a^5-a) - (a^3-a)(a^3-a)] = a[a^7 - a^3 - a^6 + a^2 - (a^6 - 2a^4 + a^2)] = a(a^7 - 2a^6 + 2a^4 - a^3) = a^4(a^4 - 2a^3 + 2a - 1) = a^4 (a-1)(a^3 -a^2 -a +1) = a^4(a-1)^2(a^2+a+1)(a+1)(a-1)$

$|A| = a^4(a-1)^2(a^3-a^2-a+1)$

$= a^4(a-1)^2(a^2(a-1) - (a-1))$

$= a^4(a-1)^3(a^2-1)$

$= a^4(a-1)^3(a-1)(a+1)$

$= a^4(a-1)^4(a+1)$

(2) 行列 $A$ の階数の計算

行列$A$の階数は、$a$の値によって変わります。

* $a = 0$ のとき、行列はゼロ行列になり、階数は0です。

* $a = 1$ のとき、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ となり、階数は1です。

* $a = -1$ のとき、$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$　となり、階数は2です。

* $a \neq 0, 1, -1$ のとき、行列式$|A| \neq 0$ となり、階数は3です。

3. 最終的な答え

(1) $|A| = a^4 (a-1)^4 (a+1)$

(2) 行列 $A$ の階数:

* $a = 0$ のとき、階数は0

* $a = 1$ のとき、階数は1

* $a = -1$ のとき、階数は2

* $a \neq 0, 1, -1$ のとき、階数は3