$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表してください。また、与えられた式 $a_n = 2\sqrt{3} \sin \frac{2(n-1)\pi}{3} + 6$ となる理由を説明してください。

1. 問題の内容

$\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表してください。また、与えられた式 $a_n = 2\sqrt{3} \sin \frac{2(n-1)\pi}{3} + 6$ となる理由を説明してください。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{77}{111}$ を小数で表します。

$\frac{77}{111} = 0.693693693... = 0.\overline{693}$

これは、小数部分が 693 の繰り返しとなる循環小数です。したがって、$a_n$ は 6, 9, 3 が周期的に現れる数列となります。

$n=1$ のとき、$a_1 = 6$

$n=2$ のとき、$a_2 = 9$

$n=3$ のとき、$a_3 = 3$

$n=4$ のとき、$a_4 = 6$

$n=5$ のとき、$a_5 = 9$

$n=6$ のとき、$a_6 = 3$

次に、与えられた式 $a_n = 2\sqrt{3} \sin \frac{2(n-1)\pi}{3} + 6$ が正しいことを確認します。

$n=1$ のとき、$a_1 = 2\sqrt{3} \sin 0 + 6 = 6$

$n=2$ のとき、$a_2 = 2\sqrt{3} \sin \frac{2\pi}{3} + 6 = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 = 3 + 6 = 9$

$n=3$ のとき、$a_3 = 2\sqrt{3} \sin \frac{4\pi}{3} + 6 = 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 = -3 + 6 = 3$

$n=4$ のとき、$a_4 = 2\sqrt{3} \sin \frac{6\pi}{3} + 6 = 2\sqrt{3} \sin 2\pi + 6 = 0 + 6 = 6$

$n=5$ のとき、$a_5 = 2\sqrt{3} \sin \frac{8\pi}{3} + 6 = 2\sqrt{3} \sin \frac{2\pi}{3} + 6 = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 = 3 + 6 = 9$

$n=6$ のとき、$a_6 = 2\sqrt{3} \sin \frac{10\pi}{3} + 6 = 2\sqrt{3} \sin \frac{4\pi}{3} + 6 = 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 = -3 + 6 = 3$

この式は周期的に 6, 9, 3 を返すため、$a_n$ を正しく表しています。$\sin$ 関数の周期性により、3つの異なる値が周期的に現れます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2\sqrt{3} \sin \frac{2(n-1)\pi}{3} + 6$