半径1の半球に外接する直円錐を考える。直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にある。直円錐の高さを$h$、底面の半径を$r$、表面積を$S$とするとき、次の問いに答える。 (1) $S$を$h$の関数で表す。 (2) $S$の最小値と、そのときの$h, r$の値を求める。

1. 問題の内容

半径1の半球に外接する直円錐を考える。直円錐の底面は半球の底面と同じ平面上にある。直円錐の高さを$h$、底面の半径を$r$、表面積を$S$とするとき、次の問いに答える。

(1) $S$を$h$の関数で表す。

(2) $S$の最小値と、そのときの$h, r$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、直円錐に外接する半球の半径が1であるという条件から、$r$と$h$の関係式を求める。直円錐の軸を含む断面を考えると、半円と直角三角形ができる。このとき、直角三角形の斜辺は1であり、底辺が$r$、高さが$h-1$となるから、三平方の定理より、

$r^2 + (h-1)^2 = 1^2$

$r^2 + h^2 - 2h + 1 = 1$

$r^2 = 2h - h^2$

次に、直円錐の表面積$S$を$r$と$h$で表す。底面積は$\pi r^2$であり、側面積は$\pi r \sqrt{r^2 + h^2}$であるから、

$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

$r^2 = 2h - h^2$を代入して、$S$を$h$の関数で表す。

$S = \pi (2h - h^2) + \pi \sqrt{(2h - h^2)(2h - h^2 + h^2)}$

$S = \pi (2h - h^2) + \pi \sqrt{(2h - h^2)(2h)}$

$S = \pi (2h - h^2) + \pi \sqrt{4h^2 - 2h^3}$

$S = \pi (2h - h^2) + \pi \sqrt{2h^2(2-h)}$

$S = \pi (2h - h^2) + \pi h \sqrt{2(2-h)}$

(2) $S$の最小値を求めるために、$S$を$h$で微分して増減を調べる。

$S = \pi (2h - h^2 + h \sqrt{4 - 2h})$

$\frac{dS}{dh} = \pi (2 - 2h + \sqrt{4-2h} + h \frac{-2}{2\sqrt{4-2h}})$

$\frac{dS}{dh} = \pi (2 - 2h + \sqrt{4-2h} - \frac{h}{\sqrt{4-2h}})$

$\frac{dS}{dh} = \pi (2 - 2h + \frac{4-2h - h}{\sqrt{4-2h}})$

$\frac{dS}{dh} = \pi (2 - 2h + \frac{4-3h}{\sqrt{4-2h}})$

$\frac{dS}{dh} = 0$となる$h$を求める。

$2 - 2h + \frac{4-3h}{\sqrt{4-2h}} = 0$

$(2-2h)\sqrt{4-2h} = -4 + 3h$

両辺を2乗する。

$(4 - 8h + 4h^2)(4 - 2h) = 16 - 24h + 9h^2$

$16 - 8h - 32h + 16h^2 + 16h^2 - 8h^3 = 16 - 24h + 9h^2$

$-8h^3 + 23h^2 - 16h = 0$

$-h(8h^2 - 23h + 16) = 0$

$h=0$ or $8h^2 - 23h + 16 = 0$

$h = \frac{23 \pm \sqrt{23^2 - 4*8*16}}{16} = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 512}}{16} = \frac{23 \pm \sqrt{17}}{16}$

$h=0$は不適。

$h = \frac{23 \pm \sqrt{17}}{16}$

$h=2$も不適。$0 < h < 2$ より、$h = \frac{23 - \sqrt{17}}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \pi(2h-h^2) + \pi h \sqrt{2(2-h)}$

(2) $h = 4/3, r^2 = 2h - h^2 = 8/3 - 16/9 = 8/9, r = \frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき，$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2+h^2} = \pi (8/9) + \pi (2\sqrt{2}/3) \sqrt{8/9+16/9} = \pi (8/9) + \pi (2\sqrt{2}/3) \sqrt{24/9} = \pi (8/9) + \pi (2\sqrt{2}/3) (2\sqrt{6}/3) = \pi(8/9) + \pi (4\sqrt{12}/9) = \pi(8/9) + \pi(8\sqrt{3}/9) = (8\pi/9)(1+\sqrt{3})$

$h=\frac{4}{3}$, $r=\frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき、最小値$S = \frac{8\pi(1+\sqrt{3})}{9}$